342 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



';'--♦:»«. 



8«>f gfonr.myh «o 



XVIIL 

 Iiistitiitioiiiuii Calciill (llffercntiall8 iSectio III. 



(Conf. Inst. C. D. Part. U. Cap. XI. §§ 282. 283. 286.) 



.1 ' ! ii 1 !f »(• I . I ni\iic:(! ■* 1 



^- ...(t;— iv Capnt I. 



De calculo differentiali ad lineas curvas applicato in genere. 

 i. Quanquam in libro praecedente jam insignis Calculi diffcrentialis usus in ipsa analjsi est 

 ostensus, tamen ejus vis maxirae perspicietur in doctrina de lineis curvis, quae post hujus calculi 

 inventionem tanta accepit incrementa, ut quae antehac fuerunt detecta prae his fere penitus eva- 

 nescant. Equidem in Introductionc ad Analysin infinitorum plurimas linearum curvarum proprietates, 

 quae vulgo caiculi differentiah's bpe erui solent, per sola analysis finitorum praecepta inyenire docui; 

 verum et ibi quacdam non obscura calculi infinitorum vestigia latent, atque illa investig-atio ita est 

 comparata, ut nisi prius eadem alia methodo fuissent cognita, vix unquam reperiri potuisse videantur. 

 Quin etiam in illo libro id mihi praecipue erat propositum, ut, cum quae vulgo per analysin 

 infinitorum praestari solent, eadem sine hoc subsidio explicavissem , summus consensus universae 

 analysis eo luculentius ob oculos ponatur. 



2. Cum igitur principia calculi differentialis ex differentiis finitis functionum derivaverim, ex 

 eodem fonte applicatio hujus calculi ad doctrinam de lineis curvis petenda videtur. Quae enim de 

 functionibus sunt tradita, ea in lineis curvis amplissimum locum inveniunt. Nam etsi, sumta qua- 

 piam hnea, puta abscissa, pro quantitate variabili, natura lineae curvae per indolem unius functionis, 

 puta applicatae, determinatur; tamen in eadem linea curva innumerabiles aliae functiones concipi 

 possunt. Quaelibet scilicct linea per curvam determinata, quae variata abscissa simul vel crescit vel 

 decrescit, tanquam functio abscissae spectari poterit, cujusmodi sunt cordae seu subtensae, tangcntes, 

 normales, et lineae quaecunque aliae, quarum vel positio, vel magnitudo ex quantitate abscissae 

 determinatur. Tum etiam ipsius curvae longitudo et area tanquam functiones spectari possunt, ac 

 praeterea innumerabiles aliae quantitates, sive sint lineae, sive superficies, sive solida. 



3. Ordiamur a simplicissimo et maxime consueto naturam curvarum exprimendi modo, qui 

 * relatione inter coordinatas orthogonales continetur. Sit (fig. 2.) recta JP axis, ad quem natura curvae 



refertur, in quo sumatur abscissa AP = x ct applicata ei normalis PM=y; natura autem curvae 

 exprimatur aequatione quacunque inter x et j, ita ut sit y functio quaecunque ipsius x, quam 

 primum assumam uniformem, ut singulis abscissis unica respondeat applicata. Dum igitur abscissa 



