Inshtutiomm CalcuU differenttalts Sectio III , 3i3 



X incremcntum capit Jxy applicata y incrementum accipict Jy-y quod ex natura fuuctionis y et 

 quantitate incrcmcnti Jx assignari poterit. Scilicet dum x abit in x-v-Jxy applicata y abibit 

 in y-k-Jy. Quare si in figura capiatur abscissa alia Jp^x-^Jx, erit applicata rcspondcns 

 pm = y-*-Jy. Cum vero sit AP = x et PM = y, in figura erit Pp = Jx, sicque Pp denotabit 

 iiicremcntum abscissae Jx. Deinde si ex M h\\ parallela ducatur Mn^ ob pn = y, erit mn = Jy^ 

 sicque linea mn repracsentabit incrcmentum appiicatae Jy^ quod convcnit incremento abscissae 

 Pp = Jx. 



\. Quo haec facilius intelligantur, sit curva BM parabola hac aequatione exprcssa ay = xx. 

 Cum igitur posito x-\-Jx loco cc, abeat y in y-^Ay, habebitur haec aequatio 



ay-^aJy = xx-^2xAx-\-AxJxy 

 quae ob ay = xx relinquet hanc 



aAy = 2xAx -i- AxJx. \ 



Sumto ergo in axe abscissae incremcnto Pp = Ax, crit applicatae incrementum ' 



. 'ixdx-h-JxJx Pp(2AP-t-Pp) Pp(AP~i-Ap) 



Jy = scu mn = -^ t! = j:i ^, 



a a a 



Pcrpctuo ergo si detur natura functionis y, ex ea rclatio inter incrementa abscissae et applicalae 

 invcniri potcrit. 



5. Non solum autcm ad datum abscissae incrcmcntum Jx invcniri potcrit incrementum 

 respondens applicatae y, sed etiam cujusvis alius quantitatis, quae pcr x et y dcfinitur. Sic cum 

 hypotenusa ^M cxprimatur per V{xx-t-yy)j postquam abscissa x incrcmentum Jx, et applicata 

 y incremcntum Jy accepit, hypotcnusa V^xx-i-yy) abibit in y{{x-^ Jx)^-v-{y -^ Jy)^), qua 

 formula exhibcbitur hypotenusa Jm, quae cum sit =V{xx-\-yy) -i- jy(xx-i-yy), erit 



JV{xx-i-yy) = V{{x-^Jx)^-t-{y-i-Jy)^) — V(xx-i-yy), 



hujusque crgo valor pcr mcthodum differentiarum supra expositam inveniri poterit. Si igitur centro 

 J radio JM dcscribatur arcus circuli Mq ab Jm abscindens partcm Jq = AM, erit pars residua 

 mq = JV{xx-^yy). Simul vcro hinc patct, quomodo cujusvis alius quantitatis per a; et ;y detcr- 

 minatae incremcntum assignari atque in figura repracscntari dcbeat. 



6. Quin etiam figura nobis exhibet incrcmenta quantitatum, quae saepcnumero nequidem pcr 

 X el y finito modo exprimi possunt. Sic si area curvae , abscissae AP rcspondcns , ponatur = P, 

 area respondcns abscissae Ap erit = P -i- JP. Verum si prior area a posteriori subtrahatur, re- 

 manebit figura mixtilinea PMmp, quae propterea erit iucrcmentum arcae P, seu erit JP = PMmp. 

 Ilaec arca commode dividitur in duas partes, quarum altera cst parallelogrammum rectangulum 

 PMnp=yJx, altera triangulum mixtilineum Mnm; eritque ergo JP = yJx -\- Mnm. Simili modo 

 si longitudo curvae BM, seu potius, quae toti abscissae AP respondet, ponatur =s, erit incrementum 

 hujus lineae curvae Js aequale arcui Mm^ qui cuni sit major ejus subtensa =V{JxJa; -¥- JyJy), 

 erit utique Js"^ V{JxJx-^ JyJy). 



7. Si curva BM circa axcm AP converti concipiatur, ut inde oriatur solidum rotundum, hujus 

 tam soliditas, quam superficies in considcrationcm vcniunt, quarum utraquc, dum abscissa ex P in p 



