Ui L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



extenditur, certum incrementum capiet. Facile enim patet, si fig^ura PMmp circa axem Pp rot«tur, 

 oriturum esse solidum, quo incrementum superioris solidi rotundi repraesentetur. Simili modo super- 

 ficies conoidica, quae conversione arcus Mm circa axem Pp generatur, aequalis eril incremento 

 superficiei solidi iliius rotundi, quod conversione portionis curvae propositae, quae abscissae x 

 respondet producitur, dum scilicet abscissa x incrementum capit Pp = Jx. 



8. Ponamus nunc incrementum Pp = Jx , quod hactenus tanquam finitum consideravimus, 

 ficri infinite parvum, seu in nihilum abire, atque exhibebit Pp difFerenliale ipsius abscissae x, seu 

 erit Pp=:dx. Hic quidem imprimis monendum est, cum in figura quantitates evanescentes reprae- 

 sentari nequeant, iisdem nos quantitatibus, quae ante incrcmenta finita designabant, ad differentialia 

 repraescntanda uti. Requiritur ergo ad hoc animi fictio, qua non tam ipsa linea Pp, quam ejus 

 quasi pars infinitesima difFerentiale dx exprimere concipienda est. Punctum scilicet p continuo 

 propius ad P admoveri fingendum est, et tum, cum in P revera incidit, atque adeo intervallum Pp 

 evanescit, praebebit Pp difFerentiale dx. Quanquam ergo intervallum Pp in figura finitam habet 

 magnitudinem, tamen id mente tanquam infinite parvum et evanescens concipi oportct, hocque modo 

 quaevis differentialia, etiamsi revera sint nulla, per figuram repraesentare licebit. 



9. Si igitur intervallum Pp tanquam infiuite parvum concipiamus, ut sit Pp = dxj incremen- 

 tum applicatae mn, quod ante erat finitum = z/j, nunc difTerentiale dy repraesentabit, ita ut sit 

 mn = dy. Quamvis autem utraque linea Pp et mn sit infinite parva, tamen ratio, quae inter eas 

 locum obtinet, erit finita, quoties differentiale functionis y ad differentiale dx finitam tenet ratio- 

 jiem. Ratio enim dyidx plerumque est finila, atque eandem rationem habebit mn ad Pp seu J//i, 

 etiamsi utraque concipiatur infinite parva seu nulia. Ex quo perspicuum est, etsi in calculo diffe- 

 rentiali praecipue quantitates infinite parvae seu evanescentes tractentur, tamen ex iis quantitates finitas, 

 quae scilicet rationcs differentialium metiantur obtineri, sicque conclusiones, quae inde formantur, 

 ad genus quantitatum finitarum vicissim revocari posse. 



10. Quoniam igitur intervallum Pp evanescens concipitur, puncta curvae M et m infinite 

 parum a se invicem distabunt, sicque elementum curvae Mm erit infinite parvum, ac propterea 

 quavis assig^nabili quantitate minus. Unde hoc commodi nanciscimur, ut hoc curvae elemcntum Mm 

 tanquam lineola recta considerari possit. Fingatur enim per puncta M et m duci corda Mm, hujus 

 longitudo eo minus a longitudine arcus i)lm discrepabit, quo magis arcus Mm diminuatur, hincque 

 isto arcu in infinitum diminuto, omne discrimen inter ipsum et cordam subtendentem evanescet, 

 abibitque ratio arcus ad cordam in rationem aequalitatis. Continuo enim diminuendo distantiam 

 punctorum M et m, quamdiu curvatura in arcu Mm deprehenditur, ultcrius distantia Mm diminuatur, 

 ex quo manifcstum est, si distantia haec in infinitum fuerit diminuta, rationem aequalitatis inter 

 arculum Mm et ejus cordam intercedcre debere. 



11. Hac ergo consideratione ad infinite parva translata, triangulum Mnm, quod quamdiu in 

 finitis versabamur, erat mixtilineum, nuuc evadet rcctilineum, ideoque ejus hypotcnusa Mm per 

 theorema pythag-oricum assignari poterit. Cum enim iu triangulo Mnm ad n reclaugulo sit 



Mn = Pp = dx, et mn = dy, 

 erit hypotenusa Mm = y(dx^-+- dy^). Exhibet autem haec lineola Mm differeutiale ipsius lineac 



