Instttutionum Calcult differenlialts Sectio III. Cap. 1. 345 



lineae ciirvae DM, et hanc ob rem etsl ipsa llnoa curva plerumque per quantltates x et y. exprimi 

 nequit, tamen ojus differentlale per quantitatum cc et ;y diffcrentialla commode exprimitur. Quo 

 commodo cum differentlae (initae carcant, perspicuum est^ quantam utllitatem analysis infinitorum 

 sit allatura. 



12. Cum y sit functio ipsius x, ejus differentlale dy hujusmodi formam pdx habebit, ubi p 

 erit functio ipsius x per dlfferentiationem cognoscenda. Quare ob dy—pdxy diffcrentiale ipsius 

 lineae curvae Vidx^-^dy^) induet hanc formam dxy(\-\-pp). Quodsi ergo iong^itudinem curvae^, 

 abscissae AP = x respondentem vocemus =5, etiamsi haec quantitas s plorumque finito modo per 

 xeiy exhiberi noqueat, tamcn ejus differentiale faclle asslgnatur, cum sit ds=^dxy{i-^pp). Illnc 

 igitur vicissim via patet ad longltudinem lineae curvae s inycniendam; id enim solum requiritur, ut 

 quantitas investigetur, cujus differontlale slt = dxy [{ -k- pp) , haecque quantitas longitudinem Ilneae 

 curvae s exprimet. IIoc autem opus ad calculum intcgralem pertinet. 



13. Quoniam in Intinite parvls triangulum Mnm fit rectilinoum, ejus area Mnrti assignan polerit, 



-iii.ii.M-. ^ 



entque =-^dxdy. Cum igltur totius areae, quae linea curva et coordinatis a; et / includitur, 

 diffcrentlale seu incrementum iufinite parvum sit trapezium PMmpy id quoque exhiberi poterit. 

 Trapezium emm PMmp constat duabus partibus, rectaiigulo PMnp, cujus area est — ydx, et triangulo 

 Mnm=-^dxdy, unde area trapezil, atque adco differcntiale areae erit =ydx-*-—dxdy. Ostensum 



autem est supra terminum —dxdy prae altero ydx evanescere. Cum enim sit 



11 1 



ydx-^-dxdy = {y-\--^dy)dx et y-\^^dy=y, ob dy = 0, 



erit areae curvae difforentiale =ydx\ unde quantitas, cujus differcnliale =ydx exhibebit aream 

 mtcr Imcam curvam et coordmatas £c et r contentam. 



\h. Hinc etiam infinitarum aliarum quantitatum, quae ipsae per x et y exprimi nequeunt, 

 diffcrentlalla assignari poterunt. Concipiatur curva BM circa axcm AP converti, ut generctur soli- 

 dum rotundum, atque hac rotatione trapezium PMmp gencrabit conum truncatum, cujus soliditas 

 pracbcbit differentiale illius solidi rotundl; superficles autcm convcxa istlus coni truncati differentiale 

 superficiei solidi rotundi. Ad haec difforenlialia exprimenda sit \ :n ratio diamctri ad peripheriam, 

 sou radil ad scmicircumferentiam, erit circuli, radio PM = y dcscripti, pcripheria = 2/rj, et area 

 nyy\ circuli autem radio pm = y-\-dy descripti periphoria =z ^n {j -^ dy) et area = 7r(j-+- dj)*. 

 Jam pro dlfferentiali suporficiei erit semisumma circumfcrentiarum utriusque basis coni truncati 

 =zny-i-n[y-\-dy) = 27iy, quae per latus coni Mm = y{dx^-\~ dy"^) multiplicata dabit dlfferentiale 

 superficiei solidi rotundi =2nyy{dx^-\- dy^)=^2nydxy{\-\-pp)y posito dy = pdx. 



15. Sollditas autem hujus coni truncati, quae dat differenliale soliditatis solldi rotundi, secun- 

 dum regulas stereometriae reperietur, si ad summam basium nyy ~\- n (y -\- dy)^ addatur media pro- 

 portionalis inter casdem ny{y -\- dy), erltque aggrcgatum = 3nyy-\-3nydy-\-ndy^ =i3nyyy ob 

 roliquos terminos prae 3nyy evancscentos. Deinde triens hujus suminae nyy multiplicari debet per 

 • altitudinem coni scalcni Pp = dx, eritque productum ;ryydx solidltas coni truncati, simulque diffe- 

 rentiale soliditatis solidl rotundi; unde ope calculi intogralis viclsslm tam volumen istius solidi rotundi' 

 quam ipslus superficiei inveniri poterlt. .iji>ii-.gui;|^tii»j 



L. Euleri Op. poi(buDM T, I. ' W 



