Instilutiomm Calculi differentialis Sectio IIL Cap, 1. 347 



20. Quae hactcnus de differenlialibus applicatarum, arearum et arcuum curvae sunt tradita 

 proprie tantum ad ejusmodi curvas pertinent, quarum applicatae sunt functiones aniformes abscisr 

 sarum, ita ut unicuique abscissae unica tantum applicata respondeat. Si enim eidem abscissae plures 

 appiicatae respondeant, alii abscissae, priore scilicet quapiam quantitate aucta, lotidem applicatae 

 respondcbunt, atque applicatae incrementum multiplex esse oporctbit: quaclibct namque applicatarum 

 priorum, a qualibct posteriorum subtracta, relinquet residuum, quod applicatae incrementum repraesen- 

 tabit. Simili modo hoc casu eidem abscissae plures rcspondcbunt areae, ac propterea eidem abscissae 

 incremento multo plura arearum incrementa; sicque apparet functionum multiformium incrementa 

 esse quoque functioncs raultiformcs. His ergo casibus, si ex dato abscissae incremento quaeratur 

 incrementum appiicatae vcl areae, quacstio non erit dcterminata, sed plures responsiones postulabit. 



21. Quae quo clarius perspiciantur, ponamus applicatam y esse functionem triformcm ipsius 

 abscissae cc, seu cidcm abscissae (Fig. 5) AP—x rcspondcant tres applicatac PM, PM' et PM'\ quae omnes * 

 in valore litterae y contincantur, quod evenit si y per hujusmodi acquationcm cubicam exprimatur 

 y^ — Py^-^Qy — /? = 0, existcntibus P, Q» R, functionibus quibuscunque ipsius x. Hujus ergo 

 aequationis pro abscissa AP = x tres radices erunt PMy PM' et — PM"^ propterea quod uitima 

 in regioncm ncgativam cadit. Quare ex natura aequationum ertt 



P^^PM-i-Py — PM' 



Q = PM.PM'^PM.PM"^PM\P^r^^ a.....,n>.rii...y .^ 



R^.^PM.PM\PM". .mni an. .inB.iduo I. , 



22. Ponamus jam abscissam x incremcnto, ac primo quidem finito Ax augeri, ita at sit 

 Ap=iX-^ Ax et Pp = Ax. Applicata ergo y abibit in y-\-Ay^ quae in figura denotabit tres 

 applicatas pm, pm\ — pm', Cum igitur y designet quamvis ex applicatis PM, PM' et — PM'\ 

 differcntia Ay exhibcre debet singulas differentias inter has et illas applicatas, unde Jy sequentes 

 novem denotabit valores: 



1. pm — PM , 4. pm'^PM , 7. ^pm^-^PM ' ^*"'' 



2. pm — PM', 5. pm^—PM' , 8. ^pm"'-PM' 



3. pm-i-PM", 6. pm'H-PM", 9. ^pm"-*-PM". 



Quamobrcm nccesse est ut Jy per aequationcm noni gradus dcterminetur. Scilicet si ipsa quantitas 

 y eliminctur, prodibit acquatio, in qua quantitas Ay ad nonum gradum ascendet. 



23. Ad hanc acquationcm inveniendam ponatur in aequatione pro curva y^ — Py^-*-Qy — R = 0, 

 x-+-Ax loco X, et y-t-Jy loco y; et cum sint P, Q et jR functiones ipsius a;, eae, si pro x pona- 

 tiir x-f-z/a?, abeant in P-^JP, Q-*-JQ et R-*-JR. Sicque prodibit haec aeqaatio '**" iB-if>i3 



^Py^-^^PyJy—PJy^ 



^y^Jp.— 2yJPJy^JPJy^ 



-^Qy-^QJy ) =0. 



-¥-yJQ-^JQJy 



— R 

 '— AR 



