350 .1 A^ft L. EULERI OPERA POSTHUMA. Andym. 



30. Simili modo, si Uti in fi§;ura applicata y tres habeat valores, tum ex novem valoribus 

 ipsius Jy tres erunt infinite parvi, siquidem pro incremento abscissae sumatur ejus differentiale dx, 

 Isti scilicet tres ipsius Jy valores irifinite parvi erunt: pm — PM — mn, pm' — PM'— — m'n et 

 — pm"-^ PM"= — m'n"t quia videlicet applicatae pm" et PM" sunt negativae. Hae igitur tr^s 

 iineolae mii, — m'/i', — m" n" praebent valores differcntialis ipsius y^ ideoque per dy designari 

 possunt. Reliqui autem sex valores ipsius Jy hic in considerationem non voniunt. Atque in hoc 

 ipso denuo insignis calculi differentialis usus includitur, quod valores ipsius Jy ad propositum 

 facientes facile a reliquis inutilibus segregare liceat; nam nisi differentia Jx infinite parva statuatur, 

 tam facile ex novem illis ipsius Jy valoribus, qui omnes essent finili, ii, qui differentias duarum 

 applicatarum in eodem curvae ramo sumtarum denotant, separari non possent. 



31. Cum igitur hic ii tantum ipsius Jy valores requirantur, qui sint infinite parvi, et locum 

 ipsius dy tenere queant, ponamqs rfy loco Jy^ et t/P, dQ et dR pro JP^ JQ et JRy neglectisque 



ift lequatione .(2^.,iaventa terminis, in quibus differentialia plures obtinent dimensiones, habebitur 



' ■■ ' ■ 1. ' I '•' ■•"I, ■ ■ ■ • — 



i§U aequatio, ,.,P^ gijjjjll^jj .^-ll^,-^ (><5. ;*^ » .^^.^.^^^1 (> l^ t^ rnrinottnnu'} onDJnui» ,niovT ^ ' ''Virin ; 



_ ^.2 dp^ y^dQ — dR-^ 3y'dy - 2Pydy -+- Qdy = ^^ q^, 



Ob^ ^«Itv^^f p. j y"^ dP — ydQ -*- dR 



• «V .^'^^«H.exquafit d3.= -__^^^_^. . 



Quanquam autem hic unicus duntaxat pro dy valor invenitur, tamen quia ipsa applicata y triplicem 

 habet valorem, hinc etiam tres valores pro dy oriuntur. Scilicet si pro y ponatur PM^ tum prodit 

 dy = mn\ sin ponatur PM' pro j, fiet dy = — m'n \ at si pro y substituatur — PM'\ invenietur 

 dy = — m"n". r 



32. Hinc perspicitur has applicatarum differentias infinite parvas dy^ quae prodeunt dum 

 abscissa x suo differentiali dx augetur, per regulas consuetas calculi differeotialis inveniri. Si enim 

 aequatio proposita 



_ \..| n..: ::..-d: ,...,:..:.,}'— Py'-^Qy-R = 



differentietur, prodibit 



3j V dy — 2 Pydy —y^dP-^ Qdy -\r- ydQ -^dR = 0, 

 unde oritur, uti modo invenimus: 



■, y^dP — ydQ-t-d» 



Quocirca calculus differentialis etiam functionum multiformium ea ipsa praebet differentialia, quibus 

 opus habemus. Neque enim quasvis requirimus differentias inter singulos applicatarum valores prae- 

 cedentes et sequentes, sed eas tantum, quae ad unum eundemque ramum pertinent. Ex his enim 

 differcntiis determinari debet positio tangentium et ncrmaiium aliarumque quantitatum a curvatura 

 pendentium. .^ V) mMofi mmhq jvj ^eiliii^i i4 ^ubnuoda 9qrao(i 



■vM «33. Quotcunque ergo applicatae in cadem linea curva eidem abscissae respondeant, uniuscujus- 

 que incrementum vel decrementum assignari, sicque plures rami, ex quibus linea curva componitur, 

 tanquam totidem lineae simplices considerari possunt. Quaecunque enim fuerit aequatio inter. abscis- 

 sam x et appHcatam y, ejus differentialis erit hujusmodi dy=ZdXy denotante Z functionem ipsaniro 



