I 



Inslitulionum Calculi differentialis Seclio III. Cap. 2. 351 



X et y. Quodsi crg;© valores ipsius y fuerint p, 7, r, s, etc. , si in functione Z pro y ponatur 

 valor p, prodibit incrementum applicatae />; similique raodo si pro y successive ponantur valores 

 7, r, s, etc. quantitas Zdx harum applicatarum differentialia exhibebit. Hinc ergo magis connrmantur 

 et illustrantur, quae in libro superiori de diOerentiatione functionum multiformium sunt tradita.'''»*!» 



3^. Quoni.im ergo pro difFerentiali dy totidem valores nanciscimur, quot ipsa applicata y 

 diversos sorlitur valores, totidem inde quoque resultabunt expressiones pro difTerenlialibus singulo- 

 nim curvae ramorum. Scilicet cum ante invenerimus elementum seu diflerentiale lineae curvae per 

 V(dx^-t-dy^) exprimi, si pro dy substituatur valor mn, tum V(dx^-*-dy^) praebebit elementum Mm, 

 quod est differentiale arcus EiM; sin autem pro dy substituatur — m'/i', eadem expressio dabit 

 differentiale arcus DW'; ac si fiat dy= — m''n', tum V{dx^-i-dy^) exhibebit differentiale arcus EM'\ 

 Simili ergo modo quotcunque linea curva habuerit ramos, eidem abscissae respondentes, hinc singulos 

 istos ramos seorsim dimetirl licebit; quod arguraentum fusius pertractabitur , ubi de dimeusione 

 linearum curvarum sermo instituetur. 



35. Quae hactenus explicavimus ad eos tantum casus, quibus natura curvae aequatione inter 

 binas coordinatas orlhogonales exprimitur, pertinent. Interim tamen ex his quoque facile perspicitur, 

 quemadiuodum, si coordinatae non fuerint normales inter se, sed ad datum quemvis angulum incli- 

 natae, differentialia ad figuras transferri debeant. Quin etiam, si natura curvae alio quocunque 

 modo exprimatur, applicatio calculi ad figuram nullam fere habebit difGcuItatem; atque si ulla 

 supersit, ea in sequenti tractatione prorsus tollelur. Ceterum in hujusmodi investigationibus omnis 

 vis in eo est posita, quod diffcrentiale ipsius lineae curvae tanquam lineola recta spectari possit; 

 idem enim modus, quo hoc pro coordinatis orthogonalibus est ostensum, aeque ad omnes alios modos 

 naturam curvarum exprimendi patet. iu^nn lorpoo zmmozai) zaniao 



Caput II. 



j 



De tangentibus linearum curvaruin. 



1. In capite praecedente vidimus particulas inOnite parvas cujusvis lineae curvae tanquam 

 lineolas rectas spectari posse. Hancobrem omnis linea curva instar figurae rectiliueae, cujus latera 

 sint infinite parva, considerari poterit; definitio autem uostra infinite parvorum, qua ea prorsus 

 evauescentia nihiloque aequalia statuimus, omnes difficultates, quae vulgo contra hanc propositionem 

 allegari solent, penilus tollit. Quando enim dicimus lineam curvam per multisectionem in infinitum 

 repetitam in particulas rectas secari, nihil aliud afiirmamus, nisi hoc sectionis modo nunquam prorsus 

 ad particulas, quae sint lineolae rectae, perveniri; sicque ab iiS non dissentimus, qui negant ullas 

 linearum curvarum particulas, quantumvis sint exiguae, unquam recte pro lineolis rectis haberi. 

 Quamprimum autem particulae infinite parvae considerantur , eae a particulis iufinite parvis lineae 

 rectae omnino discrepare non possunt. '' 



2. Quo haec clarius iutelligantur, primo quidem nullum est dubium, quin omnes partes lineae 

 rectae, quantumvis sint parvae, sint pariter lineolae rectae. Quocirca quando dicimus particulas 



