Inslituliomm Calculi differentialis Sectio III. Cap. 2. 353 



directionem jugiter propius accedet, quam attingcre censenda erit tum, cum triangulum in inflnitum 

 erit diminutum. 



6. Omncs autcm difficultates penitus evanescent, si genesin lincarum curvarum ita imaginemur, 

 ut motu puncti super plano incedentis describantur. Sic enim linea curva BM erit quasi via, 

 secundum quam punctum cx B in M est prog-rcssum. IIoc modo linea recta dcscribilur, si punctum 

 in motu suo pcrpetuo eandem servat directionem; linea curva autem, si ejus directio continuo 

 immutatur. In quovis autem lincae curvae BM loco punctum istud describens certam habebit 

 directioncm, sine qua motus consistere non posset; atque in triangulo infinite parvo Mnm hypotenusa 

 Mm repraesentabit directioncm, sccundum quam punctura illud, cum in M pcrvcnerit, motum suum 

 prosequitur. Ilancobrcm angulus mMn monstrabit inciinationcm illius directionis ad axem AP; ex 

 angulo autcm Mmn constabit, quantum directio puncti lineam curvam dcscribentis ad applicatam 

 PjM inclinetur. 



7. Ducatur, per punctum curvae M linea recta indcfinita TMFy quae ad axem JP (Fig. 6) vel rectam 

 ei parallelam Mn eandem teneat inclinationcm, quam in triangulo infinite parvo Mmn habet hypo- 

 tenusa Mm ad basin J//i, atque haec recta TMV ita -exprimct directionem puncti motu suo lineam 

 curvam JM describentis, ut si hoc punctum eandcm dircctionem, quam in M habct, invariatam 

 retineret, ipsam lineam rectam MF dcscripturum esset. Hujus ergo lineae rectae TMF elcmcntum 

 infinite parvum Mm, quia ad Mn eandcm habet inclinationem, quam tenet elcmcntum lincae curvae 

 Mm, cum hoc elcmento congruet, atque adeo elementum Mm commune erit lineae rectae TMF et 

 curvae JM. Quamobrcm ista linea recta TMF tangct lineam curvam in puncto M; h*nea recta 

 enim tangens lineam curvam ita definitur, ut cum linea curva in eo puncto, ubi est contactus, eandem 

 dircctionem habcre dicatur. 



8. Si igitur pro coordinatis orthogonalibus JP et PM vocetur abscissa AP = x, applicata 

 PM = y, in triangulo infinite parvo Mnm erit Mn = Pp = dXy mn = dy et Mm = y(dx^-i-dy^), 

 et angulus mMn mctietur inclinationcm tangentis TMF ad axem ^P, eritque si tangens axem in 

 puncto T secare ponatur, angulus PTM= mMn, unde ob angulos ad P et /i rectos, triangula 

 TMP et Mmn inter se erunt similia, ac proptcrea latera proportionalia. Fiet ergo 



mn {dy) : Mn (dx) = MP (y) : PT (^) , ideoque PT=^~- 



Hinc in axe definiri potest punctum T, ex quo, si per punctum M agatur linea recta TMF, ea futura 

 sit tangens lineae curvae in puncto M. Vocari autcm haec linea PT solet substangens. 



9. Inventa ergo pro quavis curva, cujus natura aequatione inter coordinatas orthogonalcs 

 exprimitur, subtangente PT=^j tangens curvae in puncto M expeditissime ducitur, ducendo 

 scilicet per puncta T, M linea recta TMF. Longitudo autem ipsius lineae tangentis MT erit 

 _y_( — i:!!^, ^ljjg quoque modis punctum T, quo tangens determinatur, assignari potest: sic 



ejus distantia a puucto ^, seu intervallum AT erit =^ x = — • Sin autem punctum T 



nimis longe excurrat, commodius in linea recta JB ad axem normali definitur punctum iS*, per 

 quod tangens transit. Namque ob triangula similia TASf Mnm, erit dx:dy = AT:AS, ideoque ob 



L. Ealeri Op. postboma T. I. h^ 



