354 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



dy dx dx 



Vel ducta MQ axi AP parallela, ob JQ= PM — y-j erit QS = '^'' Hinc invento puncto S, linea 

 recta per ambo puncta iW et 5 ducta curvam in M tanget. 



10. Cog-nita tangente ad curvam, facile linea recta duci poterit, quae cum curva ang-ulum 

 quemcunquc constituat; quaevis enim recta ad lineam curvam in dato puncto aeque inclinata cea- 

 setur, atque ad tang-entem in eo puncto. Sic si per punctum M linea recta duci debeat, quae sit 

 ad curvam normalis, totum neg-otium absolvetur, si ad tangentem MT in puncto M uormalis 

 educatur MN. Hujusmodi recta MN, quae in geometria sublimiori frequentissime occurrit, normalis 

 appellari solet, et portio axis PN, inter applicatam et occursum normalis cum axe intercepta, sub- 

 normalis vocatur. Cum jam triangula Mmn, MNP sint pariter similia, erit 



dx:dy = PM:PN ideoque PN^'^-^- 

 Facile erg:o per difTerentiationem invenitur subnormalis PN, hincque recta per puncta M et N ducta 

 erit normalis ad curvam in puncto M, quoniam ad tangentem est perpendicularis. 



il. Ponamus ad curvam in puncto M duci debere rectam MO, quae cum curva angulum 

 quemcunque datum OMT constituat. Sit iste angulus TMO = g), et ponatur ang-ulus TMP = (o, 



. . . dx du ' 



ita ut sit sin (o = -7-—= — --5- et cos o) = 



V{dx^-\-dy'^) V(dx^-^dy^)' 



erit in triangulo PMO angulus PMO = cp — co, atque cos (90 — «) : j =p sin (90 — ai) : PO, unde flt 



PO = r tang (y - ■«) = :; '""f " " ""^' "' ■ 



-^ o \-r / 1 H- tang ^ . tang o 



... . dx r.^ y(%tangflj — dx) ^,, y{dysinq> — dxcosm) 



At est tanff« = — , erg^o P0= \'^ ,\ ^ seu P0 = -^ — _, . -— « 



*-* dy " dy-i-dx tang 93 dy cos (p-i-dxsmf 



Hinc sequitur si ang^ulus OMT=(p debeat esse rectus, ob sin^p^l et cos9) = 0, fore PO=PN=^-~* 

 Sin autem angulus (p debeat essenullus, seu MO in ipsam tang;entem incidere, ob sin^=Oet 00^90=!, 

 erit P0 = — \- = — PTi uti pro tangente invenimus. 



12. Hoc modo non solum tangentes et aliae lineae rectae ad curvam utcunque inclinatae duci 

 possunt, si applicata fuerit functio uniformis ipsius abscissae, sed etiam quotcunque curvae puncta 

 eidem abscissae puncto P respondeant, ad quodvis punctum duci poterit tangens. Si enim applicata 



* y tres habeat valores, puta PM, PM' et — PM" {¥ig. 5), ex aequationis resolutione non solum 

 singuli cognoscentur, sed etiam cujusqyie difiPerentiale dy. Habebuntur ergo tam pro y quam pro 

 dy tres valores, qui in formula ^ substituti dabunt subtangentem pro quovis puncto. Vei si sit 

 dy=pdx, existente p functione rationali ipsarum x et y, formula -> si ponatur y = PM, dabit 

 subtangentem pro puncto M; sin autem pro y substituatur vel valor PM' vel PM'\ prodibit sub- 

 tang:ens vel pro puncto M' , vel pro puncto iW. 



13. Regulam pro inveniendis tangentibus, si natura curvae exprimatur aequatione inter coordi- 

 natas orthogonales, aliquot exemplis illustrasse juvabit: 



« Hxempluin 1. Sit igitur curva AM (Fig. 6) parahola JppoUoniana, cujus natura iiUer 



coordinatas AP = x et PM = y hac aequatione yy = 2ax exprimitur. 



