Instituttomm Caiatli differentialis Sectio IIL Cap. 2. 355 



Cum sit yy:=2axy erit differentiando ydy= adx, ideoque — = -, el subtangens 



dy a ' "^ "^ 



Tenet crgo perpetuo subtangens PT ad abscissam JF rationem duplam. Deinde cum sit subnor- 

 mab*s PN=-^i ob ydy = adxj fiet PN=a; ideoque in parabola subnorraalis perpctuo aequalis est 

 semissi lateris recti. Cum porro sit resecta AT^ AP = x^ crit AS = ^y; hinc si in puncto S 

 ad tangentem A/Tducatur normalis 5*^, erit AF=—yy:x= - a; idcoque punctum F est fixum et 

 incidit in focum parabolae. Quae proprietates^ cum aliunde sint notissimae, Tcritatem regulae non 

 mediocriter confirmant. 



£xeinpluni 3. Sit curva AM parabola aUioris gradiis hac aequatione y'«-^»=— a^Wj" 

 expressay cujus tangenlem invenire oporteat. 



Si acqualio differentietur, prodit (m-i-n)y'""*"""~* dj = na'" o;"""^ da?, unde fit 



dy na'"x"—'^ o dy na"*x"—^ 



Jam ob y'"-*"' = a'" x" erit PT=^^^^^x, et ^T= -xr ideoque abscissa AP ad resectam AT 



n n * 



rationem habet constantem ut n ad m. Tum vero erit substangens PT ad abscissam AP ut m-i-n ad n. 

 Praeterea cum sit 



dy na'"x''—^ . ,. ., ydy na'"^"^^ 



— rx» ent subnormalis PN=-~'= 



dx (m-»-n) j/ '"-+-« — * dx (»n-+-n)y '»-+-"—> {m-*-n) xy' 



Substituatur hic a"' x"" loco y""*-" fietque PiV= 



Kxempluin 3. iS'/? (F'g- 7) curia AMB circulus centro C ra<iw AC=:a descriptus, cujus * 

 natura inter AP = x et PM = y hac aequatione yy = 2ax — xx exprimitur, 

 Haec aequatio differentiata dat ydy = adx — ajdo?, unde fit 



^ y «* ,..,k<,*„„^«„o DT W 2oa;— asc ar<2a — a;) 



dy 



= -^ et substangens pt=-^ = ^^I:^ 



a — a: " ^ a — x a — x 



Quoniam vero est AB = 2a. erit BP = 2a — x, et ob CP = a — a?, erit PT=^—^ — • Deinde 



' ^ CP 



jrri 'iax — xx ax AC. AP 



cst resecta AT= x = = — - — . 



a — X a — X CP 



n 't. nrri «w; aa AC- 



Porro erit CT = 1- a = = -— . 



a — x a— X CP 



Denique cum sit ydy = adx — xdx, erit subnormalis ^=a — x=CPy unde patet normalem per 

 centrum C transire. Quanquam hic pro abscissa AP = x applicata y duplicem habet valorem, 

 alterum PM, alterum — PM\ tamen quia ncque in expressione subtapgentis neque subnormalis in.- 

 est y, tam utraque tangens MT et M'T axem in eodem puncto Tsecat, quam utraque normalis 

 MC et M'C per centrum C transibil. Quae quidem sunt notissimae circuli proprietates. 



Exemplum 4* iSi' natura curvae AM (Fig. 6) hac aequatione exprimatur yy = X, existente « 

 X functione quacunque ipsius x, ejus tangentem in quovis puncto M invenire. 

 Sit dX = Pdx, et aequatio differentiata dabit 2ydy = Pdx, unde fit 

 — z=.~i et subtangens PT = %- = -^ = --. 



dy P ° dy P P 



