356 .£ LVEULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



Deinde cum sit ^ = -g P, subnormalis erit PN=^Py qui valorcs tam subtangentis quam sub- 

 normalis pro utroque applicatae valore ±yX valebunt, quod quidem per se est perspicuum, cum 

 partes curvae ad utramque axis partem sitae sint inter se similes et aequales. 



* Exeinplum 5, Positis (Fig. 8) abscissa AP = x et applicata orthogonali =y, sit natura 



curvae hac aequatione expressa yy = 2ay-f-2xy — aa-i-xx, ita ut unicuique abscissae AP = x binae 



respondeant applicatae PM et — PM'. 



Aequatio differentiata dabit 

 aoii sdii ydy = ady -+- xdy -f- ydx h- xdx 



Unde fit *p y—a~x 



dy y-+-x 



ideoque erit subtangens 



yj^^yy-ay-xy ^ay^xy-aa-^xx^ atque resecta ?^ - (T = ^^:=^. 



Jam ob binos valores ipsius y duo reperiuntur puncta T et T', quorum illud tangenti in M^ hoc 



a{PM—a)^ 

 AP-i-PM'' 



vero tangenti in M^ respondet. Erit nempe, si y = PM^ AT = "—^ — ~\ sin autem y = — PM\ 



erit AT' = — —^ — ^^^« Simili modo ob ^= ^~*~^ ? erit subnormalis 



AP — PM dx y — a — x 



ydy yy-i-yx 2aj/-t-3ya; — aa-^xx 



dx y — a — X y — a — x 



quae praebebit intervallum PN si ponatur y = PM; sin autem ponatur y = — PM', prodibit inter- 

 yallum PN' respondens puncto M\ 



£xeiiipluin 6. Lwenire subtangentem in lineis tertii ordinis hac aequatione contentis 



y^ -I- ay^x h- /3yx^ -*- y.x^ -h ^y^ -*- eyx -i- ^xx -t- rjy -\- Ox -t- i = 0, 

 Aequatione hac differentiata obtinebitur 



dy(3yy -h 2ayx -h ^xx -t- 2dy -i- ex -t- rj) -i- dx(ayy -t- 2/3yx -h 3 yxx -t- ey -\- 2 ^x -t- 0) = 

 unde fit subtangens 



.,■ ydx 3j/' — 'iay^x — Pyxx — 25j/y — eyx — Tjy 



dy ayy-i-^jiyx-t-Byxx-i-ty-t-^i^x-t-d 



ydx ay^^x -t-^i^yxx-t-Syx^ -t-Syy-t-^fyx-t-^^xx-t-^iTiy-t-SOx-t-St 

 dy ayy-t-'i'pyx-*-Zyxx-*-f.y-i-%x-t-d 



Si hinc abscissa x subtrahatur, remanebit resecta 



ydx Syy-t-tyx-t-^xx-t-^iTiy-t-^ifix-t-Si 



X 



dy ayy-t-^pyx-t-^yxx-t-ty-t-^^x-t-d 



Quodsi jam hic pro y ejus varii valores substituantur, prodibunt axis portiones AT pro singulis 

 curvae punctis abscissae x respondentibus. 



l^. Formula ^ non solum quantitatem subtangentis, quae est portio axis inter applicatam 

 et tangentem intercepta, ostendit, sed etiam ejus positionem demonstrat. Si enim — affirmativum 

 habeat valorem, punctum T ad eandem partem applicatae PM cadit, in qua reperitur initium abscis- 

 sarum. Scilicet si abscissae AP a puncto A dextrorsum capiantur, subtangens ^—y si ejus valor 

 fuerit affirmativus, a puncto P sinistrorsum capi debebit, et contra, si valor ipsius -~ fuerit negativus. 



