358 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



Hic unicuique abscissae x duae respondent applicatae PM et PM' eritque 

 PM = x-i-V{aa-*-xx) et — PJi'=aj — l/(aa-f-£ca?), 

 atque in initio J fit AB = AB'=a. 



Ad tangentes jam in punctis M et M' inveniendas differentietur aequatio, prodibitque 



dx 



ydy = xdy -t- ydx , unde fit ^ ~~ — ^* ^* subtangens PT=y — x. 



Unde si y = PM, erit PT=PM — AP; sin autem y= — PM\ quia punctum T' in regionem 

 oppositam cadit, erit ^ PT'= — PM' — AP, seu PT'= PM'-t- A P. Cum autem sit 



f ji«l e j r= £c dz y (aa H- cco?) , erit subtangens = =t l/(aa -i-cca;), 



cujus ambigui valoris prior -i-l/(aa-i-cca;) dat subtangentem PT, alter — y(aa-i-a;a;) subtangentem 

 •-- PT' y erit ergo PT = PT', Subnormalis porro 



et altera subnormalis 



y (aa H- ««) y (aa h- ara;) 



n 7IT' — aa — lxx ^ mv> aa-^^ixx -. 



PN = rr, : -h- 2x. seu PN = -t: — 2x. 



y{aa-t-xx) ' y{aa-*~xx) 



Exprimi quoque potest tam subtangens quam subnormalis per applicatam y. Cum enim sit 

 a>=«^. erit PT=?5^, ^T = ?^ et PN- '*' 



2y , 2j/ y j/y -^ oa 



unde pro duplici valore ipsius y gemini quoque valores pro punctis T et N inveniuntur. 



« Hxempluni 4. SH curva BM (Fig. 9) logarithmica ad suafh asymtotam AP tanquam axem 



relata, cujus positis coordinatis AP = x, PM=y, natura hac aequatione exprimatur x = cl — 



Differentiata hac aequatione erit dx = — ^ ideoque ~ = c, unde subtangens logarithmicae 

 PT = ^-^ ubique ejusdem est quantitatis, quae est bujus curvae proprietas notissima. Hinc cum 



ay 



subnormalis semper sit tertia proportionalis ad subtangentem et applicatam, erit subnormalis PN=—*^ 

 Ex hoc autem exemplo perspicitur, quomodo curvarum transcendentium tangentes inveniri oporteat. 



i6. Vulgo in elementis linea tangens ita defittiri solet, ut omnia puncta praeter unicum, quod 

 punctum contactus vocatur, extra lineam curvam posita habere dicantur. Haec autem definitio non 

 nisi in circulo et sectionibus conicis aliisque curvis, quae a lineis rectis in pluribus quam duobus 

 * punctis secari nequeunt, justam tangentis ideam praebet. Ita si (Fig. 12) curva AMN alicubi cursum 

 suum inflectat, linea recta TMN eam in puncto M tangere potest, etiam si eadem alibi in N curvam 

 secet; hocque modo fieri potest, ut eadem linea recta curvam tangat simulque in pluribus punctis 

 iutersecet. Casus autem iste nostram definitionem non turbat, qua diximus lineam tangentem in uno 

 puncto cum linea curva ita convenire, ut ibi utraque communem habeat directionem. Seu cum 

 etiam in minimo curvae elemento directia agnosci debeat, linea tangens nil aliud erit, nisi hoc 

 elementum utrinque productum. 



