I 



Instituliomm Calculi differentialis Seclio III. Cap. 2. S59 



17, Alias quoque idea tangcntis ex idea lincarum sccantium derivari solet, ita ut (Fig. 13) linea * 

 secans TMm in tangentem abire censeatur, cum binae intersectiones M et m in unum punctum conve- 

 niunt. Haec idea non solum cum ea, quam supra dcdimus, perfecte congruit, sed etiam eandem rcgulam 

 pro inveuicndis tangcntibus suppeditat. Posila abscissa ^P=a;, sit applicata rcspondens PM = y 

 functio quaecunque ipsius aj; tum considcrctur rccta TMm per punctum quodpiam axis T ducta 

 quaecunque, critque posita AT=t aequatio pro recta ista hujusmodi 7 = n (e-i-aj), quae oh y 

 functionem ipsius x^ tot habebit radices, quot fucrint intcrscctioncs hujus rectae cum linea curva. 

 Si jam ponamus duas intersectiones in unum punctum coalcsccre, aequatio y = n{t-^x) duas 

 habebit radices aequales; ac proptcrea pcr ea, quae in praeccdente libro de aequalitate duarum radicum 

 sunt demonstrata, erit aequationcm j- = /i (< -*- £c) diffcrentiando, posita sola quantitate x ejusque 

 functione y variabili, dy = ndx, unde fit /1 = — » Qui valor si loco /i in illa acquatione substi- 



, (t -+- x) dy , . ■r.m ydx , . . 



tuatur, erit y= — et {t-^x) = PT= — i quae est eadem expressio, quam supra pro sub- 



tangcnte PT invenimus. 



i8. Patet ergo ex hoc consensu, si elementum lineae curvae, quod etiamsi sit infinite parvum, 

 tamen determinata directione non caret, utrinque producatur in directum, lineam rectam hoc modo 

 oriundam fore tangentem lincae curvae in eo elemento. Quamobrem perpctuo positio lineae tangentis 

 ex directione elementi curvae, quae per minimum triangulum Mnm (Fig. 6) determinatur, recte 

 deflnietur. Cum igitur hoc praestiterimus, quando natura curvae per aequationem inter coordinatas 

 orthogonalcs definitur, superest, ut quoque alios modos naturam curvarum exprimcndi perpcndamus, 

 et quemadmodum lineae taugentes inveniri queant, ostendamus. Cognita autcm tangente, simul 

 omnes aliae lineae, quarum positio ab ea pendet, cujusmodi sunt normales in curvam, aliaeque lineae 

 ad curvam utcunque inclinatae, facillime innotescent. 



19. Quoniam hactenus applicatas ad axem norm^lcs assumsimus, faciant nunc applicatae MP 

 cum axe AP angulum quemcunque constantem APM^ qui sit =^; voceturque abscissa AP = Xy 

 applicata PM = y. Sumatur jam alia abscissa aliquanto major Ap = x-t- Jxy sitque rcspondens 

 applicata pm = y-t- Jy. Ducta ergo linea Mn axi parallela, erit Mn = Pp = AXy et mn = Ayy 

 atque triangulum mixtilineum Mnm abibit in rectilineum, si incremcntum Ax statuatur infinite par- 

 vum. Fiat igitur Ax=dx et Ay=^dy, atque in triangulo rectilineo Mnm^ ob data Mn=Pp=dXy 

 mn = dy et angulum Mnm = ^y dabitur positio lateris Mm^ quae producta praebebit tangentcm 

 curvae MTin puncto My quae si axi in T occurrat, triangula Mnm et TPM erunt similia, unde 

 oritur mn(dy):Mn(dx) = PM{y):PT, erit ergo intervallum PT=^—^t sicque innotescit punctum 



dy 



T, per quod si ex M ducatur recta iWT, ea futura sit curvae tangens quaesita, unde patet subtan- 

 gentem PT ab angulo 'Q non pendere. 



20. Definiri hinc quoque possunt diffcrcntialia tam areae quam arcus curvae. Si enim ponatur 

 area APM=Uy erit area Apm=u-^du, ideoque da=trapezio PpmM, quod cum constet duabus 

 partibus, parallelogrammo scilicet PpnM et triangulo Mnm, erit area parallelogrammi PpnM=ydxsinQ 

 et area trianguli Mnm= —dxdysm^; hincque fit elementum areae du = ydxs\uQ-*-—dxdysmQ, 

 quod est differentiale areae completum. In quo cum terminus posterior prae priori evanescat, erit 



