360 . L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Amiysis. 



du = ydx s\n ^. Deinde, si arcus curvae j4M ponatur =s, erit Mm=ds; verum ex triangulo 

 Mnm reperitur 



Mm = y{dx^ — 2dxdy cos^, ~\- dy'^) , unde erit cl5 = y(tla;* — 2 dx dy cos^ -v-dy^). 



(^uodsi ergo quantitates assignari possent, quarum differentialia sint 



ydx s\w^ et Yidx^ — 2dxdycost,-^dy^)i 

 earum altera aream curvae m, altera arcum s esset exhibitura. 



21. Ex cognita positione tangentis MT determinari poterit angulus, quem linea utcunque per 

 punctum M ducta cum linea curva constituit, quaevis enim linea cum curva eundem angulum con- 

 stituere censetur, atque cum tangente. Hinc ergo vicissim duci poterit recta MO, quae cum curva 

 in M angulum datum constituat. Sit iste angulus TMO = O, ac ponatur tantisper angulus 

 TMP = Mmn = cp, erit angulus PM0 = 6 — (p, atque ob APM=^, erit AOM=^ — 0-^^. 

 Hinc ob cognitum in triangulo PMO, praeter omnes angulos, latus PM=yf erit 



smAOM:PM=s\nPMO:PO, ideoque Ciet PQ= ,^f^^-^> = ytang(e-y) ^ ^ 



^ sm {^ — -i~ q>) siD S — cosS tang (6 — f) 



At est tang g) = tang Mmn = _^.^'" — i» ideoque 



'/5>';! ,"'JtC;: .^ . dy langd — dx cos^langd — dxsin^ dy sind — dx sin{i,-i-6) 



° ^ -^^ dy — dx cosl-i-dxsin^iangd dy cosO — d x cos{^-t- 6) 



Quamobrem reperietur 



-j^ y{dysin6 — dx sin{^-t-6)) 



dy sin {'q — 6)-t-dxsin6 



Si ergo linea MO ad curvam debeat esse normalis, ob ^^=90", erit P0 = ^ /~ ^^^^^ » unde si 



° ' ' — dycos^-t-dx 



normalis iWiV ad alteram partem applicatae MP cadat, erit 



dx — dy cosg 



« Exemplum. Sit curva AM (Fig. 10) ellipsis, vel alia sectio conica quaecunque, cujus sit 



AB diameter et PM applicata alteri diametro conjugatae parallela. Positis ergo AP = x, PM=y 

 et angulo APM=^y erit ex natura sectionum conicarum: yy = 2ax — nxx. Hinc fit 



, , 1 dy a — nx 



ydy = adx — nxdx. seu — = • 



•^ "^ ' dx y 



Quare erit subtangens 



PT = '-^ = -^, ideoque PT^ '"^"-""^ 



dy a — nx ^ a — nx 



Sit C centrum sectionis conicae, erit AC=—f et AB = —y ex quibus obtinetur 



pj,__ x{AB-x) _ AP.BP ^ aa _.^C^. 



AC — x CP * ei O i n{a — nx) CP' 



Deinde si MN fuerit ad curvam normalis, erit 



pj^__ y(a — nx — ycosD 

 y — (o — no;) cos 5 



i 



