362 S L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



mn : Mn =PM: PT 



, ydf cosq)-. yd<p ^ y (dx sintp -t-yd(p) 



•^ smtp sin 90 dy sia^-i-yd<p cosf 



quae congruit cum expressione ante inventa. 



2k, Ex hoc ratiocinio intelligitur quantitates intinite parvas prae finitis non semper abjici 

 licere; quanquam enim inveneramus Pr= — (sin^H-d^rjcos^), tamen in altero factore s\Ti(p-\-dcpcoscp 

 posterius membrum prae priori perperam negligeretur. Negligi quidem sine errore posset, si lineae 

 PV quantitas absoluta quaereretur. At cum differentia inter eam et lineam pV in computum sit 

 ducenda, ob pV= ' ^ > si idem valor pro PFquoque assumeretur, differentia prodiret nulla, 

 neque propterea cum differentiali Pp comparari posset. Hinc ergo simul perspicitur, quibus casibus 

 differentialia prae finitis quantitatibus rejicere liceat; lioc scilicet fieri potest, si valor absolutus 

 quantitatis cujuspiam finitae investigatur. Verum si quantitas ejusmodi sitdefinienda, cujus deinde 

 discrimen ab alia finita sibi aequali considerari debeat, isthac rejectione uti non licebit. Non magis 



, ,. ^n . . . . dxsinq) . dxsinm dxdip coscp 



enim pro valore hneae VP accipi potest — - — > cum sit revera — 1 > quam pro 



y4p = x-*-dx valor x. Quoniam enim comparatio intcr infinite parva est instituenda, etsi ea revera 

 sint nulla, tamen suis debitis expressionibus designari debent, ut comparatio institui possit. Contra 

 vero in determinando valore lineolae Mn pro PV recte adhibitus est valor — - — -t quia nusquam 

 differentia inter eam et aham sibi aequalem in computum ingreditur. 



25. Cum in triangulo Mnm s\t Mn = dx-k-^r^ et mn = dy-\- ^ ycosy ^itque an^. Mnm = (pf 

 erit area hujus trianguli 



1 ,, . (dx sia m -*- yd«>) (dysin<p-t-yd(p cosw) 



= — Mn . mn smcp = - — ^ ' — - — ^-^ — -, 



quae quia est differentialis secundi ordinis, prae differentialibus primi ordinis evanescit. Quare si 

 hujus curvae area JlPM ponatur = u, erit 



,: V-. -- i 



du = trapezio PMnp = -^ {Pp h- Mn) MQ, 



unde erit .\i\:^^i,du=ydxs\n^-i--^yydg). 



Si porro arcus curvae JM dicatur =Sj erit ds = Mmy cujus valor ex triangulo Mnm reperitur 



= y(Mn'^ — 2Mn.mn.coscp-v-mn'^) =y{dx^ — 2dxdy cosg) -^ dy^^-^^ydxdcp s\n cp ~t- y^ dcp^) = d$. 



Definiamus nunc quoque normalem MN in curvam, quae ex coordinatis superioribus AQ = p, 

 QM=q, ita est assignata ut sit 



/^ j|T 9^i y sinf (dysinf-t-yd<p C09<p) 



^ dp dx — dycoi^-i-ydq)uaq> 



qui valor a P(2 = jcosgosubtractus relinquit: 



pN-— y(dxcosf — dy) 



dx — dy CQsq>-*-ydfsin<p 



26. Denique notari meretur pro quavis abscissa punctum V, ex quo applicatae divergunt; erit autem 



_, „ dxsin<p ' -._- dxsia<p 



py— — r et recta MV=y-i — —j— ^* 



Oi 



