364 .S t^ L. EULERl OPERA POSTHLMA. Anaiym. 



30. Alio aatem modo facilius punctum T in axe inveniri potest, per quod tang;ens MTtranseat. 

 In hunc finem ducatur per M recta Mt axi parallela, atque ob angulum CMt = cpj et Mtm = cp-\-dfft 

 in triangulo CMt erit 



sin Mtm :CM = s[nMCt: Mt z=sinCMt: Ct 



i;?»«D aod itt «H. .81 ~-c:'i ydm . usinffl 



sincp -*- d w cos cp : y = dcp :- ~ = sin <» :— -/- 



. T T^ T ■>' T anq)-t- dq) cosf ■' sin f -t- dg>coBip 



_lfil#'j^! rtflr'. 



Erit erg-o Mt = ^—^ .= -r-^ ; quia enim differentia lineolae Mt ab alia sibi aequali nusquam 



°, sm (p -t-dtp C08 (p sinf ^ ' ' 



in computum venit, in denominatore terminum (Z9PCOS9P prae sin^? tutorejicimus. At cum Ct subtrahere 

 debeamus ab Cm, et differentia haec ipsa sit infinite parva, praecedentem omissionem facere non 



I. . ^ ysintp ydcpcosm j-\ 



licet, eritque Ct = - = y . Quare cum sit 



' ^ sin <p -t- dtp cos (p *^ sin^) , 



Cm = Y-t- dy, Qet mt = dy-i-^~~^- 



'' J ^ •' sin 9) 



Nunc ig^itur triangula mtM et MCT similia dabunt mt: Mt = MC :CT, unde obtinetur 



'f, pj, yyd<p . \r':h;'^ 



dys\nq)-t-ydfCOS(p 

 f. 



* 31. Exprimatur nunc (Fig. 18) natura curvae ^iW aequatione inter rectam CM, ex puncto quodam fixo 



C ad curvam ductara, et portionem rectae AP positione datae, quae a recta illa CM abscinditur. 

 Consideratur scilicet haec recta AP instar axis, in quo punctum A, ubi recta CA ad axem est 

 normalis, pro initio assumatur, voceturque AP = x et CM = y. Ducatur recta Cm ipsi CjW proxima, 

 eritque Ap = x-i-dx, ideoque Pp = dx et Cm=y-\-dy. Jam ex triangulo CAP rectangulo, 

 posito CA = a, erit CP = y{aa-^xx), et ex natura differentialium 



„ // X xdx 



.. Cp = y{aa-^xx)-^y-^^^-^^. 



Hinc ducta Mn axi parallela, ob triangula CPp et CMn similia, erit CP : CM= Pp : Mn= Cp : Cw, 



, n Tnr y<i^ . ^ yxdx 



unde tit . Mn=-7-. r et Cn = y-^- 



,5. y{aa-t-xx) *' aa-t-xx 



Haiic ob rem erit mn = dy Cum nunc ducta tangente MT triangulum omT ideoque 



et PMT simile sit triangulo nmM, erit mn: Mn= PM: PT, ideoque 



(y — V{aa -+- xx)) ydx 



. j^.w..»,, .,......',,,.- PT: 



,, ^ yxdx 



dyV(aa-*-xx) 



V(aa-i-xx) 



^ ' ' 32. Ponatur PM=z, dataque sit aequatio inter x et 2, unde aeque ac in casu praecedente, 

 curVa cognoscetur et construetur. Erit ergo j = z -t- y{aa -^xx) et dy = dz-i- -r-. r» qui- 



, 1 .1 1 ... . 1 .. 1 .. nm zdx(z-i-V{aa-i- xx)) ^. 



Dus valoribus substitutis obtmebitur PT=^—r, — — - — t~ r- bi statuatur z constans 



dzy{aa -t- xx) — zxdx: V{aa-i- xx) 



sive affirmativa, sive negativa, curva erit conchois vel exterior, vel interior; hocque casu si ponatur 



, , /\ r» . r»rrt c (c -t-V(aa-h- xx)) —cV(aa-*-xx) — aa — xx .. nm CM.CP 



z = c ob dz = 0, liet PT=-^ V f= ^ '- , seu erit jPT= — — , 



— cx:y{aa-t-xx) x AP 



ita ut sit AP : CP= CM: — PT, unde pro tangente conchoidis invenienda eadem oritur constructio, 

 quam jam ante dedimus. 



33. Referatur nunc (Fig. i9) proposita curva EM ita ad duo puncta fixa A et B ceu polos, ut inde 

 ad quodvis curvae punctum M ductis rectis AM et BM relatio inter istas rectas exprimatur aequatione 



