Instituliomm Cdlculi differentialis Sectio IIL Cap. 2. 365 



quacunque. Sit igitur AM—Xj BM^y^ et concipialur punctum m ipsi M proximum, ad quod 

 ductis rectis Am et Bm erit Am = x-^dx et Bm = y-*-dy. Tum centris A et B descriptis 

 arculis il/a, A/6, qui cum sint infinite parvi, pro lincolis reclis in Am et Bm normalibus haberi 

 poterunt, erit ma = dx et mb = dy; sicque super communi hypotenusa Mm duo habebuntur 

 triangula rectangula Mam et Mbm. Jam ex quovis tangentis puncto T demitlantur in A M et BM 

 perpendicula TP et TQ, quae cum quoque in Am et Bm futura sint normalia, erunt triangula 

 Tpm seu TPM et Mam, itemque triangula Tqm seu TQM et Mbm inter se simiiia, ideoque 

 Mm : MT= ma : MP = mb : MQ, unde erit MP : MQ = ma : mb = dx: dy. Cum igitur ex aequa- 

 tione inter x et y detur ratio dx:dyj in eadem ratione capiantur intervalia MP et MQ\ quo 

 facto, ex punctis P et Q diA AM et BM normaliter ducantur PT et QT, sese in puncto T in- 

 tersecantes, eritque recta MT curvae tangens in puncto M. 



Zk. Quantitas autem clementi curvae Mm sequenti modo determinabitur: Sit angulus AMB 

 seu AmB=<pj qui ex distantia punctorum AB dabitur; si enim ponatur haec distantia 



Ab = a, ent cos99= • 



Tum juncta «6 ob angulum amb = (p, erit ab = y{dx'^~\-dy'^ — 2dxdycos(p). Describatur 

 nunc(Fig. 20) super diametro M/?i semicirculus, erunt puncta a et6 in ejus peripheria, et in cordam abe\ * 

 centro c demittatur perpendiculum cd, erit ang. acd = amb = (p, ideoque — ==— — = siny; hinc 

 erit Mm = ~^' Quare habebitur elementum curvae (Fie-. 19) Mm= ^ ^ '^ ^ ~' ^ ycQsy) ^ ^ 



sin 93 , ^ \ o y sin 99 



35. Invento elemento Mm = '^^'^"'^^'"-^^ "'"''' ^\ reperietur Ma^"^'''^-^' et Mb = ^^^^^^^, 



sin rp r sin 9) sin <p 



qui iidem valores geometrice quoque inveniuntur, si ex a in ^&m, item ex b in Am demittantur 

 perpendicula puta aa et 6/?, quae quidem in figura non sunt expressa. Erit autem ^^^ , t 



ma=^dxcQS(p et ba=idxco^(p — dy atque — = sin 9P, =:; V* ?.o-> 



similique modo ex\t m^ = dy zqs (p et a^ = dx — dyco%(p atque ^ = singp. Jam ob triangula 

 MPT et maM similia, si MP pro lubitu capiatur, atque e\ P 2i^ AM normalis usque ad tangen- 

 tem ^/Tducatur, erit ma\Ma = MP:PT, ideoque PT=MP .^^^^^^^- Hinc ergo angulus 

 AMT cognoscitur, quippe cujus tangens= ^^"^^" ^ . similique modo anguli BMT tangens erit 



dx — dy cos q> 



^ ^.^ Bisecetur angulus A31B recta MC, et cum sit angulus AMC=-q), erit 



Ut,gCMT^ f'-y^":'\^ , seu t3agCMT.U,ngJMC = p-'"' 



(dx-t-dy) sin ^ ^ o o ^3.. 



-dy 



Quiaveroest cosy = ""-*-/^-"" , erit ^^ ^y (-^y-^-)(x^y—) ^^ 



'txy sin i 93 (a — x -*-y) (a-^x — y) ^ 



tang CA/ T= ?^^^ ^(x^y-^anx-^y-a) 



^ dx-i-dy {a — x-t-y) {a-t-x — y) 



Exemplum 1. Sit iwaj -+-/13^ = 6, erit curva, si wi = =t /i, sectio conica circa focos A et B 

 descripta; in genere ergo cum sit mdx-*-ndy = 0, Qet dx: dy = n: — m. Quare sumtis in 

 rectis AMy BM portionibus MP :MQ = n: — w, concursus normalium PT, QT in puncto Tdabit 



