366 .k L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiym, 



tangentem. Quod si autem angulus AMB ponatur =y, erit 



tans: AMTt=i r et tang ^iWT= -. 



° , , nsmf " m sin 9 



Ducta vero recta MC ane-ulum AMB bisecante, erit tane: CMT^-, f-^; unde patet si m — n. 



° ° (n — wi) 9in i 9 ^ 



quod fit in ellipsi, angulum CMT esse rectum; sin autcm »i = — n, quod fit in hyperbola, ipsa 

 tangens MT angulum AMB bisecabit, uti ex eleraentis constat. 



'''! ' Exeiiiplum 3. Sit mxx-i~nyy = bb, erit mxdx-*-nydy=0, ideoque dx:dy = ny: — mx, 

 unde si capiatur MP : MQ = n . BM: — m.AM, concursus perpendiculorum in T determinabit 

 positionem tangenlis MT. Posito autem angulo AMB = (p, qui ex aequatione cos y = ^ '^^ ~ — 



Zxy 



J -nrrrt fl tJ COS Cp -t- mX , , ti HM rrt — nj/ — «10! COS 03 ,-.. . J mrm ^ 



datur, erit tang^i)/T = -^^^ — -. et tangfiMT = ^- — r -• Dicatur ang^MT = ^, ut 



' ° ny sinf ° tnx sin <p o ' 



^ nw cos ffl-Hmaj . 1 « > 1* ^ •. a^-t-x^—y^ ^ ... 



sit tang<9 = -^ -. > et angulus BAM = p, ut sit cos/) = > atque concipiatur recta 



CM ad tangentem MT normalis, erit angulus ^i»/C=90*— <9 et BCM=90^-^ 6-i-p. Hinc 

 erit sin BCM: AM= sm AMC: AC, seu AC = — - — : = -. -• At est sin cp : sin p = a :r, 



cos(e— p) cos|» -f-smp tangO ^ ^ •' ' 



., . j/sinffl I r>i • i. >n ■ nwcosffl-f-ma; ma; xx-i-yy — aa .. 



ideoque sm p = - — ^» unde iit sin p tang = -^ — ^ = 1 ^ ; hmcque porro 



cos » -+- sm p tans- C' = 1 = Lx quibus etticitur AC= — — et Bt= • runc- 



* ^ '^ na a na ' m-i-n m-t-n 



tum ergo C in recta AB erit fixum, ex quo cum omnes rectae ad curvam ductae in eam simul 

 sint normales, manifestum est hanc curvam esse circulum centro C descriptum; quod idem ex 



elem,entis facile demonstratur. Radius ergo hujus circuli erit recta CM, cujus longitudo reperitur 



ex analogia hac: 



'' smAMC:AC=smp:MC, unde fit MC= , ""^'"p ^ *^y''y 



* (m -I- n) cos 6 {m-t~n) cos 6 



Est vero 



nysintp ny sin ^ ny sing> 



COS a = ,, ., o Y~t a ^» Seu COS U = -7-, — ; ;; -, ;; — r = vZ; HT ;> 



y{m'-x'--\-n''y'--^rtmnxycos(p) y (m (m n- n) a;a;-i-n (m n- n) j/y — mnaa) y\},m-^n)hb — mnaa^ 



' ; ; i. j. ^-. ■)/{{m-\-n)h}> — mnad) 



ere-o ent radius CM = —^ — -• 



o m-h-n 



Denique cum sit dx :dy = ny : — mx, erit elementum curvae I 



' ' ' ■' ^ daj/^n^^y^-i- wi2jr*_i_ 2mnarj/ COS95) dxV{{m-*-n)bb — mnaa) 



i 



ny sin q> ny sm 99 



y(2 (m H- n) fcfca?aj — 2n (m — n) a aa;a; — (66 — nao)*— (m -*- n)2a;*) 



est vero ysm^ = -^ ^^ ^^ ^ — ^ — -• 



36. Referatur nunc quidem, ut ante, curva ad duos polos fixos A et ^,. quorum distantia sit 

 AB = a; verum detur relatio inter angulos BAM = p et ABM = q. Hinc angulus AMB, quem 

 ante vocavimus ^, nunc erit = 180"^ — p — g, ita ut sit 



sin ^ = sio {p -+- q) et cos 9? = — cos (p -*- 9). 

 Ex triangulo ergo AMB erit 



o sin 9 t. nnjt " ''° ^ 



AM=x= .7"" , et BM=y = 



sin (p -t- j) "^ »io (j> -H ff) 



Hinc erit 



