Instilutiomm Catcult differentiatis Sectio III. Cap. 3. 367 



dx dq sin p — dp tin q co» (p -t- q) dy dpilnq — dqaiap eot^p-^q) 



a tin^ (p-*-q) a sia^ (p-t-q) 



qui valorcs in formulis supra inventis substituti dabunt 



tan^ JMT = - — f^ , ^ , tang i?MT = - 77-^. — 7 



^ {dp-*- dq)col(p-t-q) —dqcolq ° dp cotp — (dp-t-dq) col(p -*-q) 



Quodsi autem tangens MT eousque producalur, donec cum ^B producta concurrat, atque angulus 

 iste ponatur = t, reperietur 



d q iin^ p -t- dp sin^ q 



tane- t = , . — -^. — - — • 



" dq sin p cos p — dp sin q cos q 



Ex hoc angulo t vicissim relatio iuter incrementa angulorum p et q cognoscetur, erit enim 



dpidq = sinp sin (t — p) : sin q sin (t -+- q). 

 At elementum curvae, si in superiori expressione loco dx et dy valores hic inventi substituantur, 



reperietur j^^^ aV^dpisio^q-t-dq^ain^p-^idpdqsiapfiinqcos^p-i-q)) 



" sin* (p-t-q) 



Sin autem angulus AMB recta MC bisecetur, erit 



X r^MMrri dqsiap — dpsinq . 1 / x 



tang CMT= J* . / . cot -^(p-t-q). 



" dq8iap-*-dp sinq z ^* ^' 



Exemplum. Sit summa angulorum p et q perpetuo eadem, puta p-t-q=0, seu q=0 — p, 

 erit ^ tang^MT=^^j-^ = tang9; 



ideoque ang .^^T=ang . ^^M et ang. ^=/) — g, quae cum sit proprietas circuli, manifestum 

 est curvam esse circulum per puncta ambo J et B transeuntem, quippe quae circuli proprietas ex 

 elementis constat. 



Caput m. 



De tangentibus linearum curvarum, quae per alias lineas curvas utcunque determinantur. 



1. Curvas, quarum tangentes in capite praccedente invenire docuimus, vel per coordinatas, 

 sive orthogonales sive obliquangulas, vel per alias lincas rectas, utcunque ductas determinalas assum- 

 simus, ita ut in determinationem illarum curvaruro solae lineae rectae exclusis curvis ingrederentur. 

 Cum autem saepenumero constructio linearum curvarum jam alias lineas curvas requirat, in hoc 

 capite methodum trademus earum quoque lincarum curvarum tangenlcs invenicndi, quarum natura 

 per alias lineas curvas dctcrminatur: quod cum innumcrabilibus modis fieri possit, hic tantum prae- 

 cipuos commemorabimus, quibus tam plerarumquc linearum adhuc tractatarum proprietates contine^ 

 antur, quam simul via aperiatur ad alias quasvis dctcrminationum rationes enodandas. 



2. Sit igitur (Fig. 21) data curva quaccunque JL ad axcm JP applicatis LP sive normalibus sive ♦ 

 ad datum angulum inclinatis relata. Ex hac autcm curva ita gcneretur alia j4M, ut ejus applicatae PM 

 ad illius curvae applicatas PL datam tcneant rationcm, siquidcm ad eandem abscissam j4P referantur. 



Si jam ponamus curvae datae JL taugentes LT in quovis puncto L esse cogoitas, hiac positionem 



