368 .f. .«^.1.. EULERI OPERA POSTHUMA. ..«\ Anaiysis. 



tang-entium alterius curvae genitae ^M investigemus. Ponamus igitur abscissam AP = x^ quae 

 utrique curvae est communis, applicatam curvae datae PL=Ut ejus subtangentem PT=t, erit, 

 sive applicatae sint normales sive ad datum angulum inclinatae, « = — — • Pro curva autem g^enita 

 yiM vocetur applicata PM==y; et quia ratio PM.PL est constans, sit ea =n:\ eritque y = nUy 

 unde, quicunque valor numero n tribuatur, ex curva data AL altera curva genita AM facile 

 construitur. 



3. Cum igitur sit y = nUy erit dy = ndu, ideoque elementa applicatarum mn et Ik inter 

 se eandem tenent rationem, quam ipsae applicatae. Subtangens itaque curvae genitae AM^ quae est 

 = ^-^> ob y = nu et dy = ndu, abit in — — =«, unde patet utramque curvam AL et AM com- 

 munem habere subtangentem PT, pro eadem abscissa AP, atque tangentes in L et M axi in 

 eodem puncto T occurrere. Cum igitur curvae AM subtangens PT=-— non a ratione n:l 

 pendeat, si ex curva AL infinitae hujusmodi curvae AM concipiantur genitae, omnes pro eadem 

 abscissa AP eandem habebunt subtangentem. Si curva AL fuerit semicirculus, curvae hoc modo 

 genitae erunt semi-eliipses super eodem axe descriptae, quae igitur omnes eandem habebunt subtan- 

 gentem, uti constat. 



k. Gurvae autem datae erit subnormalis PK = ■—> curvae genitae autem subnormalis erit 

 pjy^yjy, c„m igitur sit y = nu, erit p;v = ^-'*, seu erit PN : PK = nn: i = PM"" : PL^ ; 



dx " dx 



subnormales ergo multo magis sunt inaequales quam applicatae PM et PL. Porro cum areae APL 

 elementum sit =udx, et areae APM elementum =ydx = nudx, haec elementa arearum eandem 

 inter se rationem tenent, quam ipsae applicatae, quae quia est constans, areae quoque ipsae eandem 

 inter se rationem habebunt, eritque area APM: aream APL = n: i. Quare si curvae datae area 

 APL assignari poterit, curvae quoque genitae APM area habebitur. Hinc si area circuli exhiberi 

 posset, omniumque quoque ellipsium areae forent cognitae: Secus vero est comparata ratio arcuum 

 AL et AM, illius enim si applicatae sint orthogonales, elementum est Ll = y(dx^-^du^), hujus 

 vero Min = y(dx^-t-dy^)=y(dx^-i-nndu'^), cujus ad illud ratio non est constans, neque ideo 

 ex rectificatione curvae AL rectificatio curvae AM cognoscitur. 



,i;'.]i'5. Ex his jam facile perspicitur, quemadmodum curvae genitae AM tangens MT inveniri 

 debeat, si applicata PM = y rationem quamcunque variabilem ad applicatam PL = u habeat, seu si 

 y fuerit functio quaecunque non solum ipsius u, sed etiam ipsarum x et u conjunctim. Sit enim 

 differcntiali sumto dy = Pdx -t- Qdu, erit curvae genitae AM subtangens = — — ^ > et subnor- 



,. y(Pdx~t- Qdu) *^ . • >r • udx ..71 ^ 



mahs =-^^ — At si curvae datae AL ponatur subtangens — - = <, ut sit dx :du = t:u, 



per quantitates finitas reperietur curvae genitae AM subtangens AT = - ^i et subnormalis 



iPN=Py-i--~* Ex quibus formulis saepe concinnae constructiones elici possunt: ita si fuerit M 

 yy^aa-^uu, ideoque ;ydj = arftt et 1^ = ^, curva data AL et genita AM communem 

 habebuut subnormalem, 9 oe«i» d oJoiuiq &iyo»p fli Ttl eaJo©:; 96l6b^9n/io^ Aumv^nu'. iaB(, 



