\uul 



Institutionum Calculi dilferenlialis Seclio IIL Cap, 3. 369 



i -i i!6i Neque etiam inventio tangentis fit difficilior, si (Fig. 22) ipse arcus JL curvae dalae in expres- ♦ 

 sionem applicatae PM ingrediatur. Ponamus curvam j4M cx curva data /^L ita formari, ut perpetuo sit 

 applicata PMtx PL-^ arcu ^L. Sic autcm curva ^M crit cyclois, si pro curva data AL acci- 

 piatur circulus centrum in axe AP habens. Sit vero curva AL quaccunquc, ac ponatur abscissa ejils 

 AP = x, applicata PL = u et arcus AL = s, erit ejus elementum ds^y^dx^-^-du'^)^ siquidem 

 applicatae statuantur ad axem AP perpendiculares. Atque si hujus curvae normalis ducatur LJf 



erit PJ= ~ et LJ= — ^—- '-=:—. 



ax . acp . ax 



Ex A erigatur ad axem normalis AQ^ ducaturque LQ = AP = Xyerit AQ = Uj cui tangens LR 



x du X ds 



occurrat in H, erit ob simiiitudinem triangulorum LPJ et LQR, QR = ~~ et LR = ^—i unde . 

 relatio diffcrentialium dcc, du et ds per lineas finitas LP, PJy LJ seu LQ, QR, LR exprimetur. 



7. Cum jam ponamus esse PM= PL-*- AL = u-t-Sj quoniam et curvae genitae abscissa 

 cst AP = x, ponatur ejus applicata PM = y, eritque y = u-+-s et dy = du-+-ds. Ducta itaque 

 tang-ente MT, erit subtang-ens PT= ~ = ^^ ^/ - Cum autem differentialibus dx, du, ds sint 



PM LO 



proportionales rectae LQ, QR, LR', erxi PT = ' • Jungatur ergo ipsi QR in directum 



RS=LR, ut sit QS = QR-t-LR, erit PT= ^^''^^ y seu QS:LQ = PM:PT, unde palet 

 Iriangula SQL et MPT esse similia, ideoque tangentem MT rectae LS parallelam. Si curva AL 

 sit circulus, erit RA = tR, ac recta X»S^ fifel corda L^, cui igittir tangens cycloidis MT erit 

 parallela, uti constat. * ' '^anm i; .Jidr, monii.nJlIimia ni B^JiniDB oup ,u = m 



' ^l^^tnventa pdsitio%e^ tSngentis MT spontfe se '<6ficrt positio normalis'*A/iV; ihterim tamen imme-» * 



diate satis succincte exhiberi potest. Cum enim sit subnormalis =-r-> erit 



» ' *^ T . ■ ■ \ dx 



nmMHT dv du-t-ds 



tang PMN =- = -— 



^ dx dx 



Differentialibus autem dx, du, ds proportionales sunt rectae LP, PJ, LJ, quibus loco differentialium 

 substitutis erit tang PiWiV = -— - — • ^ ■ 



Sjuunatur ergo iii^a^e^Jir = L4 rwt.#*^^,^j,^ LK, eritque ^^,„^.^^^,^5 ^y,^^^^ 



PK 



•V r > ! hc n ) iiJoiiii tangPitfiV==^ = tangPL/iC..;) aiu:) HVr. E«9<|nr.l fonup ,'\\l':s 



Prodit ergo angulus PMN=an^ . PLK, ideoque normalis MiV parallela e st i^e c tae Li?". Quodsi ergo 

 curva AL fuerit circulus, erit J ejus oeutrum, LJ radius, ideoque K altera diametri extremitas, ad 

 quam si ducatur corda X:K,\ «rit .«i constanter parallela recta ^iV, quae ad cycloidis punctum M 

 ducitur normalis. ih 'iuJi:^i 



9. Ponamus jam (Fig. 23) ex curva data am formari aliam AM ita, ut etiam abscissae varientur. « 



udt 



Sit in curva proposita am abscissa ap = t, applicata /)/w=m, ideoque subtangens />< = — et subnor- 

 malis pn = ^—i siquidem coordinatae « et u fuerint normales. In curva autem formata AM vo- 

 centur coordinatae AP = x, PM = y, |inde iit subtangens PT = ^ et subnormalis PN=^' 



L. Eoleri Op. postbuma. T. I. 4*7 



