372 .8 .cp':^Ai: U L E R I OPERA POSTHUM A. «l Anaiym. 



* circulus (Fig. 26), cujus bentrum in ipsp puncto C sit positum. Detur igitur circulus ^BE ceutro 

 C descriptus, cujus radius JC ponatur = a, sumtoque puncto A pro initio, a quo arcus /4S com- 

 putentur, ponatur arcus /48 = 8, ac per *S' agatur recta C^^M aequalis functioni cuicunque arcus 

 AS; sicque puncta M posita erunt in quadam curva CMD hoc modo describenda, cujus tangentes 

 in singulis punctis M determinari oporteat. Manifestura autem est hujusmodi curvas CMD fore 

 transcendentes, cum earum constructio a rectificatione circuli pendeat. Atque ex hoc genere non- 

 nullae lineae curvae a geometris diligentius sunt exploratae et propriis nominibus distinctae, quas 

 hic evolvi conveniet. 



16. Primum ergo ponamus rectam CM perpetuo ipsi arcui JS proportionalem capi, sicque 

 orietur curva CMD a primo inventore spiralis Archimedea appellata. Haec enim curva, postquam 

 ex C exierit, spiris continuo divergentibus in infinitum gyratur. Deinde arcubus J S sumlis 

 negativis, haec constructio praebebit alterum curvae ramunl CN priori CM similem et aequalem, ita 

 ut rectai CD ad JC normaliter constituta hujus curvae futura sit diameter. Gum igitur positis 



AC = a, AS=s et CM = y, sit r = -- 



Si tota peripheria hujus circuli ponatur =c, snmtis arcubus 5, c-t-Sj 2c-i-5, 3c-#-5, etc, rectae 

 CM respondentes eandem positionem tenebunt, atque ideo recta CM producta spiralem in infinitis 

 punctis secabit, seu longitudo CM infinitos habebit valores, qui erunt 



.s-;.;u...i ,.,,.,....,... ..<....,,...,* .. ..>.... . .iiOJJI 90p0i€i .... 



nx . - . -.•*'• , .^* b{c-*-s) 6(2c-t-5) 6(3c-t-5) .„ .. ,, ,^ . , .,. 



a a a a 



ideoque in progressione arithmetica, cujus differentia est = — procedunt, quae est proprietas palmaria 



hujus spiralis Archimedeae;' ■'"' o''' 



'«^ l?. Ad tangentem hujus curvae inveniendam consideretur radius proximus C/w, ducaturque 



.sn 



'arculus M//. Jam ob Ss = ds, erit 



' " "t ' " I " '" ycis bsds , -, bds 



... . Mu= — = — eX m/u = dy = — > 



ex quo fiet w^ : Mfi= i :■ — 



Quare si ad radium SC . normalis jungatur CV= arc JS = s, erit CS : CF= a: s = mju : Mu, 

 ideoque angulus FSC aequaWs crit angulo Mmf^ = CMT. Hinc si rectae SF per M parallela 

 ducatur MT, haec tanget spiralem Archimedeam in puncto M. Facilius autem normalis ad curvam 

 MO definitur: Si enim recta CO sit ad CM normalis, erit 



Mfi:mju = MC:CO, hoc est ob MC = ^-^, erit s:a = ~:CO, unde fit CO = b. 

 Quare si radio MC perpetuo normaliter jungatur recta CO = b, tum recta MO erit in curvam 

 normalis. Ceteriim cum sit tangCMT:i=i:-j 'pbrspicuum est angulum CMT, quem radius CM cttWi 

 curva facit, continuo crescere: in ipso enim puncto C, pro quo fit ^^'^O, hic angulus evartescir, 



1 s 



ideoque ipsa recta CJ ibi spiralem tanget. In puncto D, ubi fit «= — c et —=1,5707963, an- 

 gulus CDM fit =^57**3l'6"6"'. Deinceps hi anguli continuo fiunt majores, atque in spiris 

 Iflfiuitesimis cum rectis confutrduritur. ^*»"^ *«^ ®«"S'^ «^«^«a ^«"« «imiiqff:: 



