\rM\k Inslituttomm Calculi differenttalts Seciio IIL Cap. 3. ^73 



18. Exhiberi quoqiie potost pro hac corva aequatio ad perpondiculum CQ ex C in tang-eDtem 

 ^/Tdemissum. Si enim ponatur CQ=p ^i MQ = q, ut sit pp-t-qq = yy, quia est 



p iHft * % * y .. p y , 1 bp 



- = — = -> ob - = - erit -=r seu 6p = or vel r = -n — - — -i 



unde fit r*=(66-^-rr)/>i> atque p=^^^ et 9 = .^^,/Xyy) ' 



1 1 » » ; ; 1 1 j . 



Quin etiam aequatio transcendcns inter coordinatas orthogonales CP = x et PM=z dari poterit. 



Ponatur enim angulus 



ifjj^ar.J tii ) /'* vV3 (U»iiu'>iij*j*>qiV'| i>i; oiiiijijii»), t>i,^ni) itki[ini iri .ik 



JCS = — = g>t^(^j^\t.^yi=rhq) et — = tang9P, itemqae — = sin^ et — =cos^, 



V 



, f,^ ydx—xdy , zdf 



unde fit = d(p cos w = — • 



yy ^ ^ y 



.iTe = <\iii^ 



At est d<p = -j. ergo ydx — xdr = —^^ ,oo=:-f onpoHnl :^ ijiaj^ 



Jam vero est "^ »l'>9'» RJ^qi \n\m m nti ao/l 



• . T -, -, ■, xdx -i- zdz 



yy = xx-*- zZj mncque ydy = xdx-i- zdZy dy = -r r> io;!^ 



, , zzdx — xzdz z(xdx-t- zdz) 



Q, . >. 1 . . ,.«> . i. cd.T — a?d« xda;-t-zd« 

 uamobrem mter coordmatas aj et z naec eruitur aequatio diuerentiahs -r; — — r= r > craae 

 ^ y{xx-*-zz) b ^ 



naturam spirah's Archimedeae exprimit. 



19. Quemadmodum ante applicatae CM arcui JS directe proportionales sunt positae, ita nunc 

 easdem arcubus reciproce proportionales statuamus. Sit ig-itur (Fig. 27) arcus circuli CJ = a, * 

 arcus AS=s et curvae quaesitae applicata CM = y, erit pro hac curva y = — > seu CM . AS=ab; 

 ob cujus aequationis similitudinem cum hyperbola ad asymtotos relata, haec curva a Cel. Joh. Ber- 

 noullio spiraHs hyperbolica est appellata. Cum igitur posito 5=0 fiat y=oo, evidens est radium 

 CA productum cum curva in infinito convenire. Dehinc crescentibus arcubus; 5y applicatae CM = y 

 continuo decrescunt, neque tamen penitus evanescent, nisi fiat s = oo, ex quo perspicitur hanc 

 curvam infinitis gyris circa centrum C serpere, qui perpetuo fiant minores, donec tandem post in- 

 finitos circumitus iu ipsum ceutrum incidant. Porro etiam sumtis arcubus negativis, uti casu prae- 

 cedente intelligitur, radium CB similiter fore asymtoton, rectamque ex C ad ^^5 normaliter erectam 



fore hujus curvae diametrum. , _ 



'"' ^ nfisMCi ::; i)!!!) iM;/.! ibnijffio') li^jnit; lun b^I^i inuJ .tS 



D )n .f20;|. Jam ad tangentes hujus curvae inveniendas ducatur applicata proxima Cm = y -^dyy 

 erit M/u = — dy; et ob Ss = ds fiet mjLi = ^i idcoque erit M^: fim^ — dy:%-^* Cum 



igitur sit y== — » ^"t ^r =^7— " — » ideqque M^: ///w = ^:— =E.(!jt :^. Ducatur ^d radium CM 

 normalis CT tangcnti occurrens in T, eritque ob triangula similia Mf^m et MCTy MC :CT=a:s. 

 Quare per 5* ducatur tangenti parallela SFj erit CS: CV= a:Sy unde ob CS=a, erit CV=s = AS. 

 Ac propterea vicissim' sl' radid CiS* juBgatur normalis CF=arcui^iS', rectaeque SN parallela 



