3T4 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



agatur MT, erU, haec tangens curvae in puncto M. Vel faeilius, cum sit ii'Kiiil/.'l .81 



CM = —f ent CM: CT = a: s = — :b. 



s s 



Hincque fit Cr=;j^r Ergo perpetu^o radio MC normaliter jungatur CT:^6r; eritque MT tangens 

 curvae. Anguli itaque CMT, quem radius CM cum curva facit, tangens erit = — • Hic ergo 

 angulus continuo fit major, et postquam curva circa C infinitas spiras absolverit, tandem abibit in 

 rectum, ultimaeque spirae fient circuJares. ''"^ «^lfi«ibioo-> iM .ri.hm ..iyC) 



21. Si hujus curvae aequatio ad perpendiculum CQ ex C in tangentem demissum desideretur, 

 vocetur CQ =p et MQ = q, ut sit pp-t- qq = yy. Erit ergo — = tangCMT= — ; sed quia 

 est y = —y erit — = — » ideoque habetur - ==— , et p/=^6^, seu ppyy = bbyy — bbpp^ sicque 

 erit p = / ^ — r et j = . ^ • Patet ergo perpendiculum p perpetuo minus esse recta con- 

 stanti 6; factoque y = oo, quo casu punctum 71/ per E in inBnitum removetur, fore p = b. 

 Non itaque haec curva in infinito cum asymtota CF ita convenit, ut ipsa recta CF ejus fiat tangens; 

 proprie ergo non tam ipsa recta CF, sed alia recta huic ad intervallum =6 parallela erit istius 

 curvae asymtota. Sit JK ista recta intervallo =6 ab JB ducta, atque curva, secus ac figura 

 indicat, ad hanc lineam continuo propius accedet, atqiie in infinito ab ea tangetur, neque etiam 

 usquam habebit punctum flexus contrarii. .^ 



22. Ex hoc casu liquet, nonnunquam summa circumspectione opus esse, si ex sola curvarum 

 genesi earum asymtotas definire velimus. Quod quo clarius perspiciatur, lineam JS fingamus rectam 

 ad CF normalem, continuoque rectam CM ita accipi, ut rectangulum CM.AS sit constans, ex quo 

 sequi videtur si sumaitur AS===^0, quia fit CM infinita, hanc in ipsam rectam CF incidere, cur- 

 vaeque fore asymtotam. Rem autem secus se habere ex eo st^tjm; liquet, quod distantiae PM 

 coatinuo crescant, d^^PFi^centibus AS. Sit enim CP = x^,f*M^Z\-^%,AC=a, erit AS=— ,9it' 

 CM=V{xx~i-zz), unde erit zy{xx-t~zz) = bx ntque a;a; £r±i -4r4-+f ' Hinc ergo perspicuum e^ 

 hon posito z=0, sed facto z = b fieri £c = oo, etiamsi hoc casu intervallum 



^^ -4 . • •.. I AS = ~- — — ^^ fiat =0; 



ideoque rectam JK ipsi CF parallelam et ab ea intervallo = 6 distantem fore yeram asymtotairirj-j 



23. Cum ista curva algebraica confundetur igitur nostra spiralis hypefDotica iri mnhlto clrca 

 asymtotam KJf quia arcus AS minimus in rectam abit. Sin autem pro hac curva aequationem 

 inter coordinatas CP = x et PM=z invenire velimus, ponamus angulum 



^^'^ i*i^'^i^^jCS=^=<f, erit CM=y=- et (p = - ideoque d^ = — ^*'. 



r. .. . . j ydz — zdy , xdf bxdy 



Ent yero z = ysin(p et x=y cos ^, unde ==: d(f) cos 9^=5= : — ; =?= ' r" 



Hinc ergo habemus hanc aeqmtionem yydz-^zydy-^bmdy^^Qi* Cum vero sit 



