Instttulionum Calcuii differentialis Sectio IIL Cap. 3. 375 



yy^xx-i-zz. rdy = xax^zdz et ar;tr:-r -> 



• . ' j ' ' lx{xdx-^td£) ^ '»"'-^ 



erit xxdz — xzdx-\ -r, — = 0» 



quae per x divisa dat zdx — xdz^^ ^> acquationem spiralis hyperbolicae naturam cxpli- 



cantem. 



24^. Considercmus nunc spiralem parabolicam, (Fig;. 28) in qua sit perpetuo applicata CM radici * 

 quadratae ex arcu AS proportionalis. Posito igitur radio circuli CA=a^ et arcu quocunque AS=Sf 

 slt CM = y=^V2hs^ et m fi = dy = YaT — — ^' ®^&^ centro C describatur arculus Mju, erit 

 M/Lt — ^— et Miu'.mfj.== — : — = yy.:ah = 2s:a; unde erit tangM/w// = tang (7yWT = — > unde 

 positio tangentis M T facile definitur. Sin autem ducatur ad spiralem normalis MN, atque radio 

 CM jungatuj^^.i[^9^jP^H§^jf^iV, erlt M/u:m/u = CM :CN, hoc est yy :ab = y: — i erit ergo 



CN=- seu CM.CN=ab. 



y 



Crescente ergo arcu AS = s, angulus CMT continuo fit major, donec tandem post infinitas spiras 

 fiat rectus. Ceterum manifcstum est hanc curvam circa C duas habere partes CM et CL similes 

 et altcrnatim positas. 



25. Quamvis autem haec curva spiralis parabolicae nomen mereri videatur, tamen a Jac. 

 Bernoullio hoc nomen aliae curvae est tributum, quae oritur, si axis parabolae juxta peripheriam 

 circuli incurvetur, atque applicatae ad axem interea normales manere concipiantur. Qui modus 

 generationis quo latius pateat, fingamus (Fig. 29, 30) curvae datae am axem as peripheriae circuli * 

 AS circumplicari ita, ut in curva hoc modo genita A M si capiatur arcus AS aequalis abscissae as, 

 recta SM circulo normaliter insistens futura slt aequalis applicatae sm. Quod si ergo in curva 

 proposita am ponatur abscissa as = x et applicata sm = z, in curva autem descripta sit primo 

 radius circuli CA = a, tum vero arcus AS=s et recta CM = y\ facto AS=s = x^ erit 



SM = sm = Zj ideoque CM=y = a-*-z. 

 Sicque ex aequatione inter cc et z data dabitur aequatio pro curva AM inter AS = s et CM = y. 

 Ptfcet ^autem si curva data am secundum axem as in infinitum excurrat, curvam genitam AM 

 infinitis spiris circa centrum C circumvolvi, sicque ad spiralium genus pertinere. 



;^6. Ad tangentem hujus curvaeMT inveniendam consideretur radius proximus Cm^ erit 



i. a «161 ,^^^ay = dz et Ar^ = *^=:(«:?^. 



Hinc si m i> ad radium Os normalis ducatur S T tangenti m T occurrens, ob triangula mMju et 

 MTS srmilia erit 



mu : Mu = MS : ST^ seu dz : ^ = z : r^ — » ita uf sit ST= ^ — 



i^ f^ ' a adM adz 



zdx d I z 



In curva autem data a/n est subtangens i« = — > unde erit ST = —^'St. Producatur ergo 

 applicata ms iu c, iit sit cs=^CSs^a,^t ex c per £ ducatur recta c£ rectae mu, quae per m axi 



