376 .e ^r L. EULERI OPERA POSTHUMA. v«\ Anaiysis. 



as parallela sit acta, occurrens m «. 'Quoniam igitur est cs=^a et cm = a-t-z, erit mu= °"^' . gt. 

 Consequenter sl recta ^Taequalis statuatur isj,i jineae mu, recta MT tanget spiralem in puncto M. 



27. Aliae spiralium tam parabolicarum quam hyperbolicarum species prodibunt, si recta CM 

 indefinite ciiipiam potestati arcus JS proportionalis statuatur. Si igitur posito radio circuli AC=a 



* (Fig;. 26) vocetur arcus AS = s et recta CM = y, formetur ista aequatio y = Cs". Hinc igitur 



eivit mft = dy ^nCs^^^yds et M/u=—= -, unde fit mju: M/u = na:s, eritque erg:o 



t%=!^k sopflUDOup ifoiB 19 t»= W^gjj j^^ _ j CMT= J_. ''"«'^'^oqo^q '^^- "316 ^'' '!• 



Quare si tangenti MT per 5* parallela ducatur 5"^ quae '^ctae CT ad radium CS perpendiculariter 

 ductae occurrat in P", erit CF = a tans CSF = ~' Unde si constituatur CV=—= - AS. hypo- 

 tenusa 5T erit taogenti A/Tparallela: sicque facillime in quovis harum spiralium puncto M positio 

 tangentis definitur, 6x qiia porro rectas ad curvam vel normales, vel ad datum anguium inclinatas 

 ducere in promtu est. 



.28.,. Hae autem curvae ad genus parabolicum pertinebunt, si exponens « fuerit numerus affir- 

 m^^tivus^ quibus casibus curvae initium in ipso centro C erit. Posito enim ;?=Q fiet quoque J=fO. 

 et cum anguli CMT tangens — posito s = evanescat, recta CA siraul tangens erit curvae in 

 puncto C. Dehinc curva continuo magis a centro C discedet, spirisque innumeris in infinitum exten- 

 detur. Sin autem n fuerit numerus negativus, posito 5 = 0, recta CM = y £it infinita; unde 

 crescente s continuo decrescunt et post infinitas spiras in centro C evanescunt. Neque vero, ut jam 

 supra vidimus, recta CA, etsi in infinitum continuata, ad curvam pertingit, ideo erit curvae asymtota. 

 Sed ad veram asymtotam inveniendam quantitatem perpendiculi CQ, quod ex C in tangcntem curvae 

 demittitur, definiri oportet; hujus enim quantitas, si ponatur 5 = 0, indicabit distantiam asymtotae 



* verae KJ a recta CA (Fig. 27). Hanc autem asymtotam rectae CA esse paral|elam exinde intelligitur, 



quod angulus, quem radius CM cum curva facit, evanescat posito 5=0. > v r 



^ ^.'^^ .-i. =^ A r:^- r, i. r;-;;.! :;_::-■. * \\\\'y\ \) ■. ■ . '- r:-:-;i; .■ '. ; : u i ,V);:-:\^) iliryw) rUl ■■ 



29^ Cum igitur angiuli CMQ tane-ens inventa sit = — > erit eius sinus = -77 r» ac 



" ° - ^ ' ■» na "^ y{nnaa-*-ss) 



sy C^~*~^ 



propterea perpendiculum CQ = -j — — ^=77 . ' » Sit jam n numerus negativus, puta 



*== — m, erit CO = -p- — — ^— — » ideoque distantia asymtotae KJ ab radio CA posito 5 = «rit 



y{minaa-t- ss) i j i 



Cs^ — '" • 



= ) unde perspicitur,- si exponens m fuerit unitate minor, tum asymtotam ifJ cum ipso radio 



. , c 



CA produCto convenire, quod ergo evenit ih his spiralibus hyperbolicis y d±='-^ si m < 1. Verum 



si m=i, qui est casus spirafis hyperbolicae supra.tractatae, erit intervallum inter asymlotam KJet 



c i ,, 



radiuip Cy^ = — , uti jam supra,,,invenimus. Sip autQm exponens m fuerit unitate major, tum 



dlstantia asymtotae KJ erit infinita, neque adeo radius curvae ME in infinitum excurrens asymtotam 

 habebit, scd ad genus, ramorum paraboliconim pcrtinebit. ^^.^ „ , 



30. Inter curvas spirales, quas hactenus consideravimus, ultimum locum occupet spiralis 

 logarithHiiC^ '$*ii logistica, quae hac definitur proprictdte,' irt; i^rbus circuH .^5* kit logarithmo rectae 

 £^M proRortiopalis. \ Si igitur posito radi® circuli .^(7 = a, vocemXis arcum 'i^iy^ii^jf-^^*!? rectam 



