Instilulionum Caicuii differendaiis Sectio III. Cap. 3. 377 



CM==y, aequatio inter s ei y pro hac curva erit 5 = 67-— 5 atque hinc si fiat y=a, crit s=6, 

 seu curva per ipsum punctum A, unde arcus j4 S computantur, transibit. Quodsi ergo signum l 

 denotet logarithmos hyperbolicos, atque e nuftierum, cujus logarithmus byperbolicus > «i±='i; i-fiil 

 y = ae', Grescentibus ergo s in ratione arithmetica, applicatae j, in ratione gcometrica augebuntur, 

 sicque curva per J infinitis spiris a circulo recedet. Sin autem arcus s negativi capiantur versus J?, 

 distantiae y continuo decrescent, atque si s = — oo, demum evanescent, unde haec curva quoque 

 per infinitas spiras tandem in centrum C incidet. 



31. Quaelibet ergo recta CM, e centro C educta, logarithmicam spiralem in infinitis punctis 

 secabit. Posita enim tota circuli peripheria = c, recta CM in eandem positionem revertetur, si 

 arcui y^S sequentes valores tribuantur: s, c-i-s, 2c-^s, 3c-h-s, kc-t-s, etc, itemque hi nega- 

 tivi — c-^s, — 2c-4-5, — 3c-t-s, — kc-t- s, etc. Valores ergo rectae CM = y per idem 

 punctum M ductae erunt numero infiniti, scilicet 



s:b {c-t-s):b (2c -+-«): 6 : (Zc-t-s):b {4e-¥-s):b ■ - 



ae , ae , ae , ae , ae , etc. 



.. —{c — s):b _(2c — «):6 —(3c — s):b — (4c — #):6 



Hi itaque valores progressionem geometricam constituunt, cujus denominator est = c .* ;^ iiqw tam 

 ascendendo quam descendcndo in infinitum multiplicantur. IJanc curvam, quae plurimis elegantissimis 

 proprietatibus abundat, primus investigavit Leibnizius, ac post eum Jacobus Bernoullius taotas 

 in ea detexit praerogativas, ut eam ad suum symbolum adhibuerit. 



32. Praecipua autem hujus curvae proprietas in tangentium lege est sita, quippe ex qua 

 reliquae omnes facile consequuntur. Ad positionem ergo tangentis MQ inveniendam, concipiamus 

 rectam Cm = y -t-dy ipsi CM proximam, ductoque centro C arculo Mju erit Mju = — et mju=dy. 

 Cum autem sit s = bl . — erit ds = — ^9 ideoque M/i= — -i ex quo anguli Mmfi seu ipsius QMC 

 tangens erit = — = — •. Qui angulus cum sit constans, perspicuum est hanc curvam omnes 



radios CM sub eodem angulo secare. Istius igitur anguli CMQ erit sinus =yy rr: et cosinus 



= -r — ; UQyde .si.eic C in tangentem Cl2 'dbmittatur perpendiculum CQ, cnt CQ = y- rrr 



et MQ= , °^ ' ^' ' Quodsi ergo fuerit a = 6 , 'ahgulus CMQ iiet semirectus," quo' casu haeC 

 spiralis logarithmica semirectangula vocari solet. 



33. Quia angulus Mmfi est constantis quantitatis, triangulum Mmfi erit specie datum; atque 

 ob mft = dy et Mfi= — -y fiet hypotcnusa Mm= ^y^aa-t- hb). Cum igitur incrementum arcus 

 spiralis Mjll ad incremcntum radii mfi constantem teneat rationem, atque facto 3^ = ipse arcus 

 evanescat, necesse est ut tota spiralis e centro C computatae longitudo eandem teneat rationem ad 

 totum vdiAmm CM=y. Erit ergo spiralis longitudo CKJM = — y{aa-^bb), quod eo magis est 

 memorahile, quod haec curva infinitis spiris circa centrum C circumpiicetur, atque adeo ista spirarum 

 multitudine infinita non obstante longitudo spiralis finitam habct quantitatem, quae ex longitudine 



L. Enleri Op. posthnma. T. I. k^S 



