378 .8 .c^r L. EULERI OPERA POSTHLMA. Andysis. 



radii CM facillime deflniri atque liaea recta finita ipsi aequalis exhiberi polest. Scilicet si radio 

 MC normaliter jungatur recta, atque tangens MQ ad ejus occursum usque continuetur, tum ea 

 aequalis erit longitudini spiralis CKAM. 



3^. Est igitur spiralis logarithmica curva rectificabilis, quod eo magis est miraudum, quod 

 inter spirales has ipse circulus tanquam species continetur, qui tamen rectificationem non admittit. 

 Si enim angulus CMQ, quem radius CM cum curva constanter facit, sit reclus, quod evenit si 

 fiat infinitum, ob ds = — -y fiet dj = 0, atque adeo radii CM ejusdem perpetuo erunt magnitu- 

 dinis, quae est proprietas circuli. Ad hoc ergo paradoxon explicandum ponamus in genere arcum 

 spiralis^M=c, erit MS = y — «, et cum sit JM: MS = Mm: mjUj erit ^ — ^^~°^ {aa-+-b i>)^ 

 Unde casu 6 = 00, quo fit y = a, erit f' = . cxd , quae expressio finitum valorem exhibet, ad 

 quem inveniendum in subsidium ducatur aequatio y = ae ' , quae ob 6 = 00 dat y = a(i-i--r) 

 et y — a = — . Est\eroeodemcasuy{aa-i~bb) = b, unde fit c = 5 el AM=ASy ex quo 

 perspicuum est hoc solo casu, quo 6=00, rectificationem curvae cessare atque ad mensuram arcuum 

 circularium redire. 



Kii;) ^5^., Superest ut hujus quoque curvae memorabilis aequationem inter coordinatas orthogonales 

 iJfHibeaiiiusr Hunc in finem sumatur radius CA pro axe, ac vocetur abscissa CP = cc et applicata 

 PM=z, Ponatur anguhis ^CM=9?, erit z = ys\ng) et x = ycosq), hincque 



ydz — zdy , xd<p 7 j 7 



= d(pcoscp = — t sevi ydz — zdy = xyd(p. 



yy ' ' y"-'»'!' 



Est vero cp = — et dcp = —- 



' a ^ a 



Quar« cum-sjt ^ ,...., ds = —i erit rfa7=~ et arr^te = ^^, u\ — ^ <%- ir.hi- v 

 ila ut habeator haec aequatio ydz — ztlv = ^-^' Est autem yz=^l/{aP--i-^Yet dy = 



V{xa!-*-xsy 



quibus valoribus substitutis emerget haec aequatio: .oir^oz oIu^inB 'if^^ <joibBi 



[^z;~ZZ^'l '~ ^y^i^dz — zdx) = b{xdx -f- zdz) sieu^jStJc^dz = aa? — 6z lazk- 6«, 

 unde patet si,.b=oo, fore xdx^zdz=0, curvamquc propterea ahire in circulum, cujus centrum 

 sit in C. 



, 36. Curvarum, quae ex circulo originem ducunt, unum adhuc exemplum afFeramus, quadratricem 

 * scilicet Dinostratis. Haec ita ex circulo construi solet, ut (Fig. 32) sumto arcu quocunque AS, in radio 

 Z?C ad Cy^normali, capi jubeatur portio CP, quae sit ad radium, ut arcus AS ad quadrantem peripheriae 

 ASB. Tum enim ducta PM ad BC normali, donec radium CS secet in M, erit M punctum in 

 quadratrice Dinostratis. Vocetur circuli radius AC = BC = a et angulus ^C^* = 9?; posito toto 

 quadrante ASB seu potius angulo recto =(>, fiet CP==—; 'etcurn angulus BCS sit =(► — ^, 



^4 •"l*oq -qO ii3lu3 ..i 



