380 • L. EULERI OPERA POSTHIJMA. 



•jbnij39. Cum inventa sit tang CMT— . ^^'°^ — _ 9 ^^s^p ^ angulus autem ^CM sit =«?, erit 

 * tane:CT7»/= :-^ , 



j , " f — sin 90 cos f 



quod idem ex aequatione coordinatarum invenitur. Demittatur enim ex M in JC perpendiculum 



-^^ et MQ = x = ^-^y erit subtangens QT = ^ 



p tang f ^ (j ° ^ da; 



i)/<2; quia posuimus CQ = z= "^ et MQ = x = —j erit subtangens QT = —^' At est 



,jw: daj = ^ et dz^-^'^'^ ^, 



fl . , • p tang 05 f sin'' <p 



unde fit j2T=^-f--^ et ^^=:tangCrM= "°'^ , ut ante. 



^ p tang (p () sm^ 93 QT ° 95 — sm 99 cos f 



Gum autem sit -^=z, erit QT= — z-t--^^, seu CT=-^ 



()tang9> ' 'c - - p sin» g,' ^ p sin* 99 



ir " ' 



'" 22 



At posito CM = y, est 90 = — et sin 9? = — ; ex quo obtinetur CT=^^^-^ =—yy. Cum ergo 

 sit CD = ~i erit ubique CD: CM= CMiCTj quae est proprietas non inelegans hujus curvae qua- 

 dratricis. Promoto autem puncto M usque in B, quia ibi est y=aj erit CT=()a= quadranti ^^5*^?. 



40. Aequatio denique differentialis pro hac curva quadratrice inter coordinatas CP=MQ=x 

 et PM= CQ = z exhiberi potest, in qua angulus 90 amplius non insit. Cum enim sumto 



V j-,., /, \ . . X z , -, zdcp ydx — xdy 



CM = y = y(xx-t-zzh sit sm a? = — et cosa? = — j erit dcpcoscp = — = • 



-^ V /' ^ y ^ y ^ ^ y yy 



At est d(p = - — } unde obtinetur (jyzdx=aydx — axdy, seu ()y^zdx = ay^dx — axydy. 



Quia vero yy=xx-t-zz et ydy = xdx-*-zdz, erit ^xxzdx-i-Qz^dx = azzdx — axzdz, quae 



per z divisa abit in hanc q(xx-+- zz) dx = a{zdx-^xdz). Vel si intervallum CD=— ponatur 



= b, erit dx=— ; positoque brevitatis gratia z=px, erit dx= Unde vicissim 



per calculum integraiem ipsae forraulae superiores a quadralura circuli pendentes eruuntur. 



ki. Loco circuli, ex quo hactenus alias curvas formavimus, alias qiiascunque lineas curvas 

 adhiberi licet, atque praecepta tradita sufficiunt ad tangentes linearum, inde utcunque constructarum 

 * inveniendas. Sit enim (Fig. 33) data quaecunque curva AL, cujus natura exprimatur aequalione inter 

 rectam, ex puncto fixo C ad curvam ductam CL=- u et angulum ACL = (f>. Ex hac porro construatur 

 alia curva BM, sumendo. distantiam CM=y functioni cuicunque ipsius u aequalem. Ducatur recta 

 ipsi CLM proxima Clm, centroque C fiant arculi LX et M^; ob ang . MCm = d<p, erit LX=udg>, 

 M^ = yd(p et lX = du, mfi = dy. In L et J/ ducantur tangentes LV et MT rectae CV, quae 

 ad LC sit normalis, occurrentes in V et T; erit cr=^*^*-^ et CT=^^—^' Hinc ergo erit 



' du dy ° 



Cr: CT= — : -=—:—, seu CV: CT=d . ~:d . —- 



du dy yy uu CM Cl. 



Sin autem normales ad utramque curvam producantur LK et MN, rectae CN, ad LC perpendicu- 



^ et CN = 'S 



df d<p 



igitur ratio dy:du detur, cx positionc normalis LK definietur posltio normalis 31 N. 



lari, occurrcntes in K et N, erit CK = — et CiV = — , idcoque CK:CN=du:dy, Cum 



df df ^ 



