Insliluliomm Caicnlt differenttahs Seclio IIL Cap. 3. 38 1 



k2. Superfluum esset exemplis hanc regulam per se fecilem illustrare: quare ad alios genera- 

 tionis modos progrediamur, in quibus applicatae non cx puncto quopiam fixo cgrcdiuntur, scd aiio 

 modo definiantur. Ubi cum infinita varietas locum habeat, cx ca cjusmodi casus eligamus, io quibus 

 proprietates prae ceteris notatu dignae occurrunt. Ac primo quidcm proposita sit (Fig. V*) curva quae- * 

 cunque AL, ex qua ita formetur alia BM^ ut rectae LM, quae curvae datae normaliter insistant, ubique 

 ejusdcm longitudinis capiantur. Hoc modo mnnifestum est, si linea AL fuerit recta, altcram quoque 

 rectam illi parailelam esse futuram; ac si linea JL sit circulus, altcram BM paritcr fore circulum 

 ipsi concentricum. Gcneratim ergo cum lineae j4L et BM ubique aequis intervallis a se inviccm 

 distcnt, parallclae intcr se erunt ccnsendac, quae est idea maxime adaequata parallelismi ad lineas 

 curvas accomodati. 1 



43. Quia lineae ML et ml ad curvam ylL ponuntur normalcs atque inter se aequales sunt, 



eacdem quoque in alteram curvam genitam BM erunt normales. Producantur enim hae duae lineae, 



doncc concurrant in puncto 0, et quia lineae OL et 01 sunt ad curvam normalcs, clementum Ll 



confundetur cum arculo circiili centro descripti, eritque crgo OL=Ol\ unde cum sit LM=lm, 



erit quoque OM=Om, quocirca et hae lincae OM et Om ad curvam genitam BM erunt normalcs, 



sicque et in hoc communis parallelismi natura locum habct, ut quae linea in alteram curvarum 



j4L et BM sibi parallelarum sit normalis, cadem alteri pcrpendicularitcr insistat. Hinc ergo porro 



scquitur tangcntem curvae genitae MT parallelam fore tangcnti curvae datae LF, ita ut si curvae 



datae tangentes ducere valeamus, in promtu sit curvarum hoc modo inde genitarum tangentcs 



determinare. 



>»q iKUio i imR sunhlu fi.toijf{)0'i« oiliog 



44. Praeterea autem affinitas harum curvarum singularis est notanda, qoae in hoc constat, ut 



longitudo curvae BM aequalis sit arcui curvae datae ^L una cum arcu quodam circulari sic defi- 

 nicndo. Sit rccta JB ad utramque curvam normalis, cui productae normalis ML occurrat in N. 

 Ducatur L,u ipsi Im parallela, erit m^ = Ll, ideoque 31m = Ll-t- M/u. Jam ccntro 7V radio 

 EN=LM = J B dcscribatur arcus circuli ES, atquc ducatur Ns ipsi nl parallcla, erit utique 

 Mju = Ss, ideoque Mm= Ll-*~Ss. Cum igitur sit Mm differentiale curvae BM, et Ll diffcrentiale 

 curvae JL, atque Ss differentiale arcus circularis ES, erit d . BM=d . JL-t~d . ES, ideoque et 

 integralia aequalia csse oportet, unde fit BM = AL-^ES. Differcntia ergo inter arcus BM ct AL 

 aequalis est arcui circuli, cujus radius = AB = LM, respondcnti angulo BNM, quem rcctae in 

 tcrminis curvarum normalitcr ductae BN et MN inter se constituunt. Atque hinc duae lincae curvae 

 exhiberi possunt, quarum differentia aequetur arcui circulari. 



45. Sit (Fig. 35) curva data ALG, ex qua ita formctur altera curva BM, ut rectae LM, quae tangit * 

 curvam datam in L, certus tribuatur valor sive constans, sive functioni cuicunque a puncto L pen- 

 denti aequalis. Ponatur ergo arcus curvae datae AL = s, sitque longitudo tangcntis LM = y. 

 Ducatur secundum eandem legem cx puncto proximo l tangens lm = y-h- dy, et quia haec recta 

 Im cum elemento curvae Ll in directum jacet, ob Ll = ds, erit linca Lm = y-^dy-\-ds. Ex 

 A/ in Lm demittatur perpendiculum Mjlc, quod non differet ab arculo circuli ccntro L dcscripto, 

 eritque propterca Lii = LM=y, unde fit m/u = dy-^ds, Si jam innotescerct lineola Mu, 

 haberetur in triangulo Mmju angulus Mm/u, cui aequalis cst angulus LMT, quem tangcns curvae 



