38^ .1 ctv; L. EULERI OPERA POSTHUMA. «1 Anaiysis. 



3. Perspicuum autem porro est in hac aequalione y"' = Cx" exponentes m et n non solum 

 esse numeros integros, sed etiam primos inter se. Si enim essent fracti, per evcctionem potestatis ad 

 integ-ros perducerentur, sin autem inter se essent compositi, seu communem divisorem haberent, hic 

 per extractionem radicis tolleretur. Ilis igilur casibus omissis, quemadmodum pro cetcris positio 

 tangentis, quando vel x vel y nihilo aequalis ponitur, sit comparata, ei*it dispiciendum. Ac primo 

 quidcm, si uterque exponens m et n fuerit numerus affirmativus, manifestum est posito x = 0, fore 

 quoque 7 = 0, et vicissim. Sin autem horum exponentium m et n alter fuerit affirmativus, alter 

 negativus, tum posito a; = 0, erit j = cx3, ac vicissim, si sity = erit a; = oo. Probe auteih 

 recordandum est, utrum aequatio y'"=Cx" ex aequatione proposita sit nata facto a3 = 0, an vero 

 J = 0, quo eadem hypothesis in tangentis investig^atione retineatur. 



4. Ponamus igitur aequationem propositam quamcunque posito x evanescente coaluisse in hanc 

 y"'=Cx"f et utrumque exponentcm m et n esse affirmativum, ita ut simul sit y=0. Ad tangen- 

 tem ergo hujus curvae inveniendam difTerentietur aequatio: habebitur 



'^'^^ ''kf"-^dy=nCx"-^^tlW,mide {k ^ _^L^^ _-"-^J/_ «J/. 



At est y=C'-- '" x" = '" ideoque erit ^ = -^ C" x 



dx tny ^ mx mx 



l n — m 



o 



dx m 



Exprimit autem -^ tangentem anguli, quem tangens curvae facit cum axe, in quo abscissae x 

 sumuntur. Posito ergo £c = 0, quoniam fit quoque y = 0, tangens curvae per ipsum initium 

 abscissarum transit, atque cum axe angulum constituit, cujus tangens erit 



;yD ^in^iz l)B EOdiJndgniJt •jv.pHi ,^t_ n—m MhrAi .laaociq 



— - " £'"^ X '" DOSitO X = ^n 



uWirAuriififiq 2l{oi^9'i Jfb9qx& zv m *^ :t.i 'Ifiijiaiflug zihaoimvm Rjnnuq ouviua 



Hic igitur angulus erit =0 si /i>>/w; rectus autem fiet si sit /i<m; sin autem sit /i = /n, iste 



.... _i_ 



ang;ulus erit obliquus, quippe cujus tangens fit finita =C'"= C siquidem m=i. 



-*«0» niifWi';! 8i«uilm,'],if)n xoifoip iii ,!?/> tfi)f|o {fon ^tie fibmigif&*>'/ni gitrr ! ni mirtd 



. 5. Quando ergo in aequatione y'"=Cx^, ad quam posito x evanescente pervenitur, tam i». 



quam /i fuerit numerus affirmativus, atque ideo curva in ipso abscissarum principio axem secat, 



* tres occurrunt casus considerandi, quorum primus est sit /i>»/w seu m<Cn. Hoc casu (Fig. 38) ipse 

 axis JJU curvam in puncto J tangot. Ramus igitur curvae ex ^ eg-rediens erit vel JIM vel JN, v^l 

 Am vel An, vel etiam binos pluresve hujusmodi ramos conjunctim habebit, quod ex aequatione 

 generali est decidendum. Lex continuitatis autem postulat, ut curva semperad minimum duos 

 hujusmodi arcus habeat, et si plures fuerint, eorum numerus perpetuo par sit necesse est. Quod 

 cum naturam curvedinis sumus evoluturi, clarius patebit. Cum enim hic tantum positionein tangentis 

 investigemus, quonam tractu curva ultcrius procedat, hic non curamus, sed infra cautioncs, quibus 

 in hac investigatione utendum est, accuratius tradentur. 



♦ 6. Secundus casus est, si fuerit /w>/i atque tangens curvae (Fig. 39) in puncto /i normalis erit 

 ad axem /^B. Ilis igitur casibus recta DJT axcm in A perpcndiculariter trajiciens curvain ibidem 

 tanget, unde rami curvae ex J ulterius proe-redientes erunt ye\ AM vel ANj vel Am vel An. 



