Instituliomm Calculi differentialis Sectio IJL Cap. i. 385 



quod ex aequatione completa est dijudicandum. Tertius denique casus existit si m = n, quo casu 

 aequatio y"'=zCx^ abit in hanc j = Ca?, naturam lineae rectae exprimens. Tangens igitur curvae, 



fex qua posito x=0 haec aequatio y=Cx est nata, (Fig:. 40) ad axem j4B erit inclinata angulo BADy * 

 cujus tangens est = C, sicque recta DA T curvam in puncto A tanget. Figura igitur curvcdinis 

 prope J erit vel JM vel JNj vel /im vel y^re, atque vel ex duobus, vel quatuor, vel sex etc. 

 hujusmodi ramis consistet. De vero autem curvae tractu lam antecedentia quam consequentia versus 

 hic nihil certi statuere licet, nisi reliquorum quoque aequationis terminorum hic neglectorum ratio 

 habeatur. Interim tamen hinc ad quemcunque horum casuum aequatio curvae facto x = perdu- 

 catur, positio tangentis in hoc loco facillime definitur. 



7. Diximus supra si in aequationc y"*=Cx^ exponentes w et n communem habeant divisorem, 

 hanc aequationem per extractionem radicis ad simpliciorem formam deprimi posse. Hoc autem ita 

 intelligendum est, nisi extractio ob signum quantitatis C impediatur. Si enim communis divisor 

 fuerit numerus par, et coefticiens C sit quantitas negativa, extractio radicis deduceret ad imaginaria; 

 ex quo intelligitur, abscissis x, si iis valor iinitus tribuatur, nullam plane respondere applicatam. 

 Sic si habeatur y2 = — x^ vel y^= — aaxxy vel y^ = — aacc* seu y^= — a*a;a; etc. singulis 

 valoribus finitis ipsius x nullae applicatae respondent; interim tamen facto x=0 manifestum est 

 fore et y = 0. His igitur casibus aequatio pertinet ad unicum punctum iu initio abscissarum positum, 



. et curvae, ex quibus hujusmodi aequationes pro cc=0 proveniunt, nullos habebunt ramos per 



punctum J transeuntes, sed ibi habebunt punclum separatum, quod conjugatum vocari solet, cujus 



tangens concipi nequit. Quod idem indicat formula ante pro positione tangentis inventa, quae ob 



1 

 O^, si C est quantitas negativa et m numerus par, imaginarium, assignari omnino nequit. 



8. Sin autem in aequatione binomia j'"=C£c", ad quam posito x = pervenitur, exponens 

 n fuerit numerus negativus, tum valori £c=0 respondebit valor 7=00, sicque (Fig. ki) applicata in « 

 puncto j4 erit infinite magna. Tangens autem anguli, quem tangens in hoc loco cum curva constituit, 

 erit =~C^x "» , quae ob n numerum negativum, posito aj = 0, semper fit inGnita, isque angulus 

 rectus. Ipsa ergo recta EAF, axi in J normalis, erit tangens curvae, ejusque idcirco asymtotos; ex 

 quo curva ad minimum duos ejusmodi ramos, cujusmodi sunt MP, NQy mp, nq^ ex infinito rede- 

 untes habebit. Sin autem, ut ante meminimus, uterque exponens m et n fuerit numerus par, et C 

 quantitas negaliva, tum aequatio casu quoque x = erit imaginaria, nisi forte dicere velimus cur- 

 Tam in distantia infinita rectae y4E vel JF habere punctum solitarium conjugatum. ^ jj«3in»/ ehM 



9. Casus igitur evolvimus eos, quibus posito x = applicata y vel quoque evanescit, vel in 

 infinitum excrescit. Sin autem y posito a;=0 finitum obtineat valorem, puta 7 = a, tum iste 

 casus ponendo 3^ = a -h z ad priorem reducitur, quippe z cvanescet posito x=0. Cum autem haec 

 substitutio, praesertim si aequatio proposita pluribus constet terminis, non parum molestiae pareret, 

 mox modum trademus, cujus ope sine hac substitutione tangens definiri queat. Ceterum aequationes 

 binomiales hactenus tractatae viam nobis aperiuut ad aequationes, quae pluribus constant terminis, 

 progrediendi, tam quod in hoc genere sint simplicissimae, quam quod aequationes utcunque compositae 



L. Eoleii Op. posthoma T. I. ^9 



