388 i Av L. EULERI OPEIU POSTHUMA. Anaiysis, 



cura binls assumtis vel prodeant homogenei, vel prae iis evanescant. Hocque modo tandem perve- 

 nietur ad aequationem duobos pluribusve terminis constantem, qua natura curvae in loco x = 

 exprimetur, ex qua deinceps non difficile erit tangentis positionem definire. 



■' ■'^ 17. Quodsi ergo hoc modo plures termini relinquantur, ii progressionem geomelrlcam consti- 

 tuent, atque ex hac conslderatione facile est istos terminos mechanice determinare, eo scihcet modo, 

 *■ quem Neutonus per parallelogrammum et regulam tradidit (Fig.V2). Si enim termini aequationis omlssis 

 coefficientibus modo ante exposito in cellulas parallelogrammi aequaliter divisas inscrlbantur, atque 

 in unaquaque cellula punctum medium notetur, facile perspicitur, terminos, qui in ratione geometrica 

 progredluntur in directum fore dispositos. Sic linea aa per puncta media cellularum transit, in 

 quibus reperiuntur termini isti progressionem geometricam tenentes: £c^, a?* j, x^y^, x^y^y a?^*, j*. 

 Linea autem 66 transit per puncta media cellularum £C", cc^j^, xy\ y^, et Hnea cc per puncta media 

 cellularum x, x^y^j a^^j*, x^^y^, atque linea dd ducta est per puncta media cellularum, quae hanc 

 praebent progressionem geometricam: j, xy^y x^y^, x^y^y x^y^, x^y^. 



ni fei8. Si igitur puncta media cellularum pro veris locis singulorum terminorum habeantur, et 

 linea recta utcunque per hoc parallelogrammum traducatur, termini in ista llnea constituti progres- 

 sionem geometricam formabunt; ideoque si eorum duo fuerint homogenei, omnes erunt homogenei. 

 Deinde ex ante expositls facile liquet, omnes termlnos, qui supra hujusmodi lineam rectam cadunt, 

 respectu eorum, qui in ipsa hac linea sint positi, fore infinite magnos, terminos autem, qui infra 

 hanc lineam cadunt eorumdem respectu futuros esse infinite parvos, ideoque prae iis evanescere 

 posito scilicet x = 0. Si enlm series verticales interpolentur, termini interpolati omnes, quorum 

 loca in lineam rectam incidunt, progresslonem geometricam constltuent, quorum respectu superlores 

 omnes sunt infinlti, inferlores infinite parvi. Sic recta 66 interpolatione instltuta transibit per terminos 



A 1. JL 



;m 'Hiii^i 'yRup ,&bn x^, x^^y, a?^j^ (cV^ ajj*, x^y^, y^. 



19. Sl igitur ejusmodl terminl desiderentur , quorum respectu reliqui omnes pro nihllo haberi 

 queant, linea recta per duos ejusmodi terminos duci debebit, ut supra eam nulli prorsus termini 

 existant. Unde si aequatlonis propositae singuli termini in cellulas ipsis convenieutes hujus paral- 

 lelogrammi Inscribantur, et cellulae, quarum termini in aequatione desunt, vacuae relinquantur, per 

 ejusmodi duos supremos terminos in duabus columnis verticallbus linea recta duci, vel ipsis regula 

 applicari debet, ut super ea nulll prorsus termini appareant, Hoc enlm facto bini illi termini, vel 

 plures, si qui in istam eandcm lineam rectam cadant, non solum progressionem geometricam for- 

 mabunt, sed ita erunt comparatl, ut prae ils reliqui omnes aequationis termlni negllgi queant. His 

 ergo termlnls in aequatione expunctis 11, qui sunt resiclui, naturam curvae in loco a?==0 expriment. 



20. Sl linea recta hoc modo ducta duos tantum terminos exhibeat, habebitur aequatio binomia 

 pro curva in loco 0^ = 0, ejusque ergo tangcns per praecepta ante tradita invenietur, nlsi linea llla 

 recta fuerlt horizontalis, quo casu applicata y vel finitum vel imaginarlum obtinebit valorem; priorlque 

 casu tangens ex hls duobus termlnis definlri nequit. Hoc ergo casu regula motu sibi parallelo pro- 

 moveatur, donec unum pluresve novos terminos attlngat, hique ad illos adjlclantur, et ex aequatione 

 resultante tangens definlatur. Cum enim reliqui termini prae his de novo adjectis evanescant, 



