Insiilutiomm Calculi differenliatis Seclio IIL Cap. 4. 389 



aeqaatio pro curva erit completa in loco a? = , nisi forte et isti novi termini evanescant, si ipsi y 

 valor ante inventus tribuatur. His ergo incommodis ut rcmedium afferatur, expediet, si ex terminis 

 primo inventis valor Onitus pro y puta y = a fuerit inventus, ut substitutione j = a-+-z utamur, 

 hincque aequationcm inter o; et z modo supra descripto examini subjiciamus. 



21. Verum si hanc substitutionem j = a-i-z evitare veh'mus, invento valore finito y = a, 

 differentietur tota aequatio proposita, quaeraturque ratio —• Tum in expressione inventa fiat ubique 

 a;= et 3^ = a, sicque prodibit tangens anguli, quem tangens curvae in isto puncto cum directione 

 axis constituit. Hoc modo etiam, si forte applicata y plures habuerit valores finitos, puta y = a, 

 y = b, y = Cf etc, pro singulis ex eadem formula -^ positio tangentis reperietur; cum si substi- 

 tutione uti voluerimus, pro unoquoque valore ipsius y peculiarem substitutionem fieri oporteret. 

 Plerumquc etiam in differeutiatione aequationis plures terminos omitterc hcet, ac saepenumero sufficit 

 ope regulae proximum terminorum ordinem adjicere; cum tamen dentur casus, quibus ad ultimum 

 usque terminorum ordinem procedendum est, consultius est totam aequationem differentiare , quam 

 omissione terminorum errorem in determinatione tangentis committere. ""c,' 



22. Facilius autem judicare licebit, utrum aliquot aequationis termmos omittere liceat, si 

 aequatio proposita secundum dimensiones ipsius x disponatur, atque factores harum potestatum in 

 divisores resolvantur. Ita si hujusmodi aequatio fuerit proposita 



(a — yY — 3(a — j)^cc-+-2(a — yyxx — (a — ^)a;^-i-a3*=— » 



ubi posito (c=0 fit j = a, in differentiatione nulli termini praeter ultimum rejici poterunt, sicque 

 quinque terminorum ordines, quos promotio regulae horizontahter deorsum facta indicat, assumi 

 oportebit. Fiet enim 



— kdy{a — j)3-f-9dj(a — yfx — h-dy(a^y)xx -t- dy .x^ — ddx{a — yy~i.kxdx(a^yy'^ 



dxxdx(a — r)-f- kx^dx= > 



a 



. S{a—y)^ — 4x(a—y)^-t-Sxx{a—y) — 4x^-4-- — - 



seu ^ — ° 



i ;ii;u; iiij da: —A{a—y)^-i-9(a—y)^x — 4{a—y)xx-t-x^ 



statuatur jam y===a et x = 0, et quia in singuh's terminis cyphra tres habet dimensiones, praeter 



5x* 



— hunc solum rejicere licet. 



23. Quia igitur hoc casa tam numerator quam denominator evanescit, atque omisso termino 

 5x* 



— reliquorum terminorum nullus prae ceteris rejici potest, ad tangentem definiendam aliud reme- 



dium non superest, quam ut substitutione y = a — z seu a — y = z utamur, qua facta aequatio 

 pro curva transit in hanc formam: ^ 



z* — 3z^x-i-2zzxx — za:;^-i-aj*=— • 



a 



His autem terminis in parallelogrammum dispositis regula indicabit hos terminos, quibus natura 

 curvae casu x = exprimitur : 



z*— 3z^a;-i-2zzajaj — zaj^-i-a;*=0. 



