390 .: . L. EULERI OPERA POSTHUMA. ,^ Anaiysis. 



Ponatur z =p-x, ut sit /)* — 3p^-*^2pp — p-*-t = 0, cujus radices, quarum duae sunt reales 

 p=i et /}== 2,2055 proxime , dabunt aequationes pro lineis rectis, quae erunt tangentes 

 totidem curvae ramorum per initium abscissarum transeuntium, radices vero binae imaginariae indir 

 cant punctum conjugatum, pro quo x = et z = 0. Atque cx hoc exemplo patet tutissimam 

 tangentis inveniendae methodum saepe in substitutione esse sitam, 



'■,a2%. Gum igitur haec substitutionis methodus sit tutissima neque unquam investigationem in ambiguo 

 relinquat, eam prae ceteris commendamus. Quoties ergo evenit, ut regula in situ horizontaii terminos 

 aequationis eligendos indicet, quo casu utique semper supremis cellulis erit applicata, cum aequatio 

 semper unum saltem terminum ex serie suprema contineat, quia alias per x foret divisibilis, toties 

 valor finitus pro y inde resultans ope substitutionis eliminetur, atque aequatio inter x et novaiii 

 variabilem introductam denuo ad paralleiogrammum examinetur. Hoc ergo modo situs regulcie 

 horizontales, qui tangentis positionem non determinant, exfcluduntur, atque omnis investigatio ad sitas 

 regulae obliquos reducitur, ex quibus valor ipsius y semper vel =0 vel = cxd elicitur, quibus 

 casibus determinatio tangentis est in promtu. 



25. Si enim regula secundum praecepta ante tradita applicata situm tQQet pbliquum, vel duo^ 

 vel plures suppeditabit terminos, ex quibus aequatio utramque variabilem £C et j continens conficitur, 

 ex qua propterea tangcntis positio determinatur; si enim duos tantum praebeat terminos, aequatip 

 inde hujusmodi orietur: y'"= Cx",, ex qua . tangentem jam supra definivimus. Sin autem trcs 

 pluresve terminos exhibeat, ii erunt in progressione geometrica, atque hujusmodi aequationem pro 

 curva praebebunt: .<^ . 



^J^Bx^^y^^Cx^^y^"-^'^^^ 

 quae posite a/^'j^t=*J9 induet hanc formam 



J -t-Bp-^Cp''-t-Dp^-+-Ep'-+' etc. = 0, ^"'^' Jiili>JKHi.. 



Ex hac eliciantur omnes radices reales ipsius /}, qui, slut p=^ct^ p=^ p^y, etc., unde totidem 

 prodibunt aequationes inter £c et jy binomiale^;..^ fT ii)<cbtB3:U 



a?'" j"= a, aj'" j"= '/3, x^^y''^ 7, etc, 

 quibus totidem curvae rami cum tangentibus assignantur Radices autem imaginariae absentiam 

 apphcatarum, quae abscissae x = respondeant, indi^ant, vel puncta conjugata, uti ante jam mo- 

 nuimus. Binae autem radices imaginariae puncta conjogata sine tangentibus indicabunt. 



26. Interdum autem fieri potest, ut regula duobus pluribusve modis ita duobus supremis 

 terminis applicari queat, ut nulli termini supra eam compareant. Quod evenit si curva plures habeat 

 ramos abscissae x = respondentes, sicque singulorum horum ramorum tangentes innotescent. Quae 

 investigatio tangentium, quo facilius pcrspiciatur, simulque usus parallelogrammi Neutoniani uhericts 

 explicetnr, cxempla aliquot adjungamus, in qiiibus omnes isti casus diversi occurrant, ita lit hoc modo 

 facile cognoscere queamus, quot curvae rami abscissae x = rcspondeant, et quales habituri sint 

 tangentes in hoc loco, sive rami m infiBitum excurrant, sive in s»atio finito subsistant. 



imenire tangentes ejus ramorum abscifiS(\e \=S)l respoad^ix^^ ._ 



