I 



^i. Institulionum Calculi differentialts Sectio III. Cap. 4. 391 



Rejectis coefficientibus, si termim hujus aequationis in parallelogrammum modo ant6 descripto 

 inscribantur, apparebit regulam triplici modo ita ad duos terminos appiicari posse, ot supra eani 

 nulii prorsus termini appareant, quos regulae situs in figura ^3 iineae ^a, ^6, Cc, repraesentant. * 

 Primus situs v/a, qui tcrminos xx et xy praebet, indicat curvam propositam ad abscissarum initium 

 ramum habere aequatione hac xx — xy=0 (reliquis nempe terminis omnibus neglectis) expressum, 

 qua per x divisa concludimus rectam hac aequatione x — y = contentam fore hujus rami tan^ 

 gentem. Altera regulae positio Bb terminos y^ et xy^ tantum relinquit, unde aequatio nascitur 

 2j3 — 2xy^=0 seu t— a;j = 0, quae aequatio cum sit pro hyperboia, patet hanc byperbolam 

 pro casu x=0 curvae propositae partem constituere : fit nempe applicata y infinite magna simulque 

 tangcns curvae existit. Ex tertio reguiae situ oritur aequatio his duobus terminis contenta: 

 — 2a:j*-i- ^«*j'= 0, aeu 1 — 2x^y = 0y et linea hyperbolica hac aequatione contenta naturaHi 

 aliorum ramorum bujus curvae pro ia3=;0 repraesentabit. Geminas ergo haec curva habebit asymtotas 

 ad axem in initio abscissarum normales, alteram naturae 1 — a;j = 0, alteram .i^2x^y = 0. 

 Praeterea vero ramus axem in initio abscissarum sub angulo semirecto intersecabit, cum ejus tangens 

 sit recta hac aequatione x=y expressa. , 



Exemplum 3. Proposita curva hac aequatione contenta i • 



x^_3x^yH-x^y2(l-^xx)-4-2xy3(l~x^)-^xV(l-^xx)-Jiy«(i^,x) — 3:^«);«^^^ 

 invenire tangentes ejus ramorumy qui abscissae x = respondent. 



Terminis hujus aequationis in cellulas parallelogrammi dispositis, regula iterum triplici modo 

 binis terminis ita apphcari potest, ut nulli reliquorum supra promineant (Fig. 4^). Ac prima quidem positio * 

 /4a hos tres terminos praebet x'^, x^y, xy^, unde haec aequatio oritur x'' — 3x^y-i-2xy^=0 

 seu cc^ — 3aja?y-4-2j^=0, cujiis curva cum proposita pro casu o; = congruit. Complectitur 

 autem haec aequatio primum lineam rectam x — y = 0, quae ergo erit tangens curvae in abscissa- 

 rum initio; tum vero aequationem aja? — 2xy — 2jj = 0, seu a3 = y(lzt"]/3), unde denuo duae 

 tangentes ad axem obliquae resultaut, ita lit hmc curva proposita tres obtineat ramos in a\is 

 initio concurrentes. Altera regulae positio Bb dat terminos xy^ et y^, sen hanc aequationem 

 2xy^ — ky^=0 sive 2jy = a?, unde tangens quoque ad axem perpendicularis oritur, et ramum 

 curvae per axis initium perpendicularfter trajicientem indicat. Tertia regulac positio dat terminos 

 y* et a;'y', hincque aequationera hahc: — 4j^-Ha7'y'= 0, seu x^y^=k, unde in initio axis fit 

 applicata y^zizoo, quae ergo simul erit asymtota curvae propositae, ideoque tangens. Pro initio 

 igitur abscissarum quatuor rami curvae s^e mutuo intersecant, sicque punctum quadruplex constituunt. 



27. Ex his ergo exemplis satis apparet, quemadmodum ex regulae, secundum praecepta tradita 

 applicatae, positionibus indoles earum curvae partium, quae abscissae evanescenti a;=0 respondent, 

 sit dignoscenda. Hac nimirum ratrone quantitas omnium applicatarum , quae abscissae aj = con- 

 veniunt, innotescit: primo enim cum quaelibet applicata vel sit evanescens, vel finitae magnitndinis^ 

 vd infinite magna, haec diversitas indicatur per inclinationem linearum /^a, Bb^ Cc, quae situs 

 regulae repraesentant, siquidem bina parallelogrammi latera, prouti tabula refert, habeantur pro 

 horizontalibus, reliqua pro verticahbus, Lineac enim Aa, Bb^ Cc, quae situs regulae pro casu 

 a;=0 exhibent, a sinistra dextrorsum sunt ductae, ac primo asceudunt ut Aa, tum vero descendunt 



