392 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



ut Cc, fieri quoque possunt horizontales, quera autem casum, cum positionem tangentis non simul 

 indicet, ob rationem ante allcgatam removimus. 



* 28. Quo clarius intelligatur, quomodo ex regulae inclinatione judicium sit ferendum, sit (Fig. 45) 



EF linea horizontalis et lineae Ea, Ec, Ee referant situs regulae a sinistra dextrorsum ascendcntes, 

 j4B situm regulae horizontalem, et bF, cF, fF situs regulae descendentes. Jam igitur manifestum 

 est situs regulae ascendentes applicatas semper evanescentes praebere, ita ut quot hinc reperiantur 

 aequationis radices, tot curva habitura sit applicatas evanescentes, quae abscissae cc=0 respondeant. 

 Situs autem regulae horizontalis AB indicabit applicatas Onitae magnitudinis, quae abscissae £C = 

 respondent; at situs descendentes omnes bF, cF, fF praebebunt applicatas inGnite magnas, axis 

 initio insistentes, quae ideo totidem ramos curvae in infinitum extensos declarabunt. Hinc ergo 

 omnia curvae puncta, quae ad abscissam evauescentem x = pertinent, una quasi operatione inve- 

 niuntur, sive ea in axem incidant, sive ab eo intervallo finito sint remota, sive infinito. 



29. Quoniam autem hic non tantum ipsa curvae puncta, quae abscissae x = respondent, 

 spectamus, sed etiam positionem tangentis, quae curvam in quolibet horum punctorum tangit, 

 requirimus, hoc quoque ex situ regulae colligere licet, nisi is fuerit horizontalis. Nam ante jam 

 animadvertimus, si situs regulae fuerit horizontalis velut JB, ex aequatione, quam termini a regula 

 trajecti constituunt, cum sit hujus formae 



= a -f- /? j -t- 7 j^ -f- 5 j"^ -H € j * -f- etc. , 

 nihil aliud concludi posse, nisi tot curvae extare puncta ab axe intervallo finito distantia, quot haec 

 aequatio habuerit radices reales finitas; radices enim, si quas forte habet, evanescentes ob « = 0, 

 simul per reliquos regulae situs indicantur. Cum igitur radices hae finitae per hujusmodi formulas 

 y = a, y = b, y = c etc, indicentur, praeter distantias horum punctorum curvae ab Axe nihil 

 cognoscitur, neque inde positio tangentium definiri potest. Ex quo jam supra praecepimus his 

 casibus positionem axis statuendo y = a -*~ z, vel y = b ~t-z, etc, immutandam esse, ut haec puncta 

 in novum axem incidant; tum enim nova hac aequatione in parallelogrammum disposita, ista puncta 

 per situs regulae obliquos indicabuntur, unde tangentis positio colligi poterit. 



30. Si enim situs rcgulae fuerit obliquus et quidem ascendens velut Ea, vel Ec, vel Ee, iis 

 non solum puncta curvae in axis initium incidentia indicantur, sed etiam tangentium directio inde 

 colligitur, unde tractus ramorum curvae, qui per axis initium transeunt, innotescit. Ex constitutione 

 enim parallelogrammi , si ejus cellulae fiant quadratae, facile perspicitur, si regulae positio Ec cum 

 linea horizontali EF angulum semirectum FEc comprehendat, tangentes indicari obliquas; namque 

 termini, qui a regula trajiciuntur, aequationem homogeneam hujusmodi 



Ax'"-\-Bx"'-'y-i-Cx'"-^y^-^Dx'"-'^y^'+~ etc = 



dabunt, cujus factores simplices reales ax -h ^y = totidem praebebunt lineas rectas ad axem 

 obliquas, quae eruut curvae tangentes in axis initio. Factores autem imaginarii, qui continentur in 

 factoribus realibus secundi ordinis, veluti axx -h- /^xy ^ yyy = , quia iis positis x=0 et y=0 

 tamen satisfit, indicabunt puncta curvae conjugata, a tractu ramorum separata,^ in quibus proinde 

 tangentium conceptus non habet locum. i;> /^ 



I 



