Institutionum Calculi differentialis Sectio III. Cap. 4. 393 



31. Si rcgiila sursum vcfgons Ea majorcm semirecto anguium cum linea horizontali EF con- 

 stituit , termini, qui ab ea Irajiciuntur, erunt hujusmodi I. /ix^-i- By = 0, II. /fx^ -+- By = 0, 

 Ul Ax^-i-Bf:=0,.iy. Jx^'+-By—0,. Y;.,^a;*r^^xV-+-Cr'=p, VI. Jx'-t-By^=0 etc, 

 in quibus numerus dimensionum ab x et y ortarum decrescit sccundum progrossionem arithmeticam, 

 siquidem plures duobus fucrint termini. His casibus quidcm semper punctum curvae in axe ob 

 cc = ct y == indicatur, sed tangens tantum exhibetur, cum aequatio nou fuerit imaginaria, 

 manifcstumque est tangentem, si quae datur, in ipsum axem incidere. Quodsi aequatio ut V pluris 

 duobus constet terminis, in factores erit resolvenda, qui singuli si sint rcales, ramos curvae axcm 

 in initio tangcntes declarabunt; sin autem sint imaginarii, bini praebebunt puncta conjugata, quae 

 autem alius erunt naturae atque ea, quae ex § praecedente sunt orta, siquidcm discrimen intcr ^ 

 puncta conjugata statucre licct. 



32. Si regula sursum vergens Ee cum horizontali EF faciat angulum semirectu minorem, in 

 iaequationibus inde ortis dimensiones ipsarum x et y aequabiliter crescent, eruntque hujusmodi: 



l. Jx-¥-By^=0, \h Ax-i-By^=0, Ul Jx^-t- By^=0, IV. ^a;-i- fij^= 0, ' ' 

 V. Jx^-+-Bxy''-t-Cy^=0, VI. Jx^-+-By^=0, etc, - ^m 



quae omnes puncta curvae in axc' dcsignant, ramorumque eo dcsineutium tangcntes, siquidcm fuerint 

 tealfes,' ad axem erunt perpendiculares; sin autem acquatio pluribus constans terminis uti V factorcs 

 habeat imaginarios, puncta tantum conjugata sine tangcntibiis indicabuntur. Apparet ergo singulas 

 regulae positiones Sursum vergentes\Ea, ECy Ee cuncta curvae puncta ia axis principio sita praebcre, 

 atque etiam inde tangentes singulorum curvae ramorum ibi cbncurrentium cognosci; sic rcgulae 

 positioncs Ea praebent eos ramos, qui ab ipso axe tanguntur, positio Ec eos, quorum tangentes in 

 axcm sunt obliquae, ac denique positioncs Ee eos ramos, qui axi pcrpendiculariter insistunt. 



33. Quemadmodum si regulae positio JB fit horizontalis, ea curvae puncta abscissae a; = 

 respondentia prodeunt, quae ab axe intervallo finito distant. Ita si rcgulae directio deorsum vergat 

 veltiti 6F, cF, fF, puncta curvae ab axe in infinitum distantia, vcl pro quibus fit y=oo existcnte 

 x=Oy exhibentur, atque natura ramorum hic in infinitum excurrentium, quatenus ad abscissas 

 minimas x referuntur, exprimetur hujusmodi aequationibus hyperbolicis: /i-+-Bxy=^0, A-¥-Bx^y=^0, 

 A-+-Bxy^=0^ ex quibus intclligitur ipsam applicatam in axis principio ductam fore horum curvae 

 ramorum asymtotas. Fieri quoque potest, ut hujusmodi aequatio vcluti a^-i-xxyy = imaginaria 



complectatur, cum inde sit y = — V — 1, sicque nulla tangens indicetur. Interim tamen cum 

 . l/ — 1 sit =0, erit quoque — ^ = — ideoque infinitum, ita ut nihilominus his casibus applicata 

 y posito x=0 fiat infinita, etiamsi punctum curvae ea notatum tangente destituatur; affirmare 

 itaque liceat in intervallo infinito ab axe cxtare quoque puncta conjugata. 



3^. Hoc modo ergo ope parallelogrammi tangentcs ramorum curvae, qui abscissae x = 

 respondent, inveniuntur, iis tantum exceptis casibus, quibus huic abscissae evanescenti applicatae 

 finitac magnitudinis respondent. Verum etiam his casibus ope differentiationis, qua valor fractiouis 

 ^ eruitur, positio tangentis dcuairi poterit, nisi curvae ibi existat punctum duplex vel multiplex, 



L. Enleri Op. poslboroa T. I. 50 



^. 



