394 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym 



p 



Q 



p 



uti jdm supra annotavimus. Sit enim y = a posito x = 0, atque in fractione finita -> quae pro 



- est inventa, ponatur tam in numeratore P quam in denominatore Qeix = Oety = aj ac 

 valor resultans, si fuerit determinatus, indicabit et punctum curvae ibi extare -simplex, ejusque simul 

 tangentem. Quodsi autem hac facta substitutione et numerator P et denominator Q evaneseat, 

 indicium hoc erit punctum curvae esse duplex vel adeo multiplex, quo casu aequatio ponendo 

 yr=a-*-z ad alium axem erit reducenda, in quem id curvae punctum incidat, ut deinceps ope 

 parallelogrammi natura ramorum in illo punctb concurrentium investigari possit. 



35. Altera pars instituti, quod hoc capite suscepiraus, versatur in investig-atione ramorum, qui 

 abscissae infinite mag-nae a; = oo respondent, quod negotium etiam facile ope parallelogrammi expediri 



* potest. Postquam onim (Fig. ^2) singuli termini aequationis in cellulas parallelogrammi fuerint dispositi, 

 manifcstum est in quaiibet columna verticali omnes terminos prae infimo evanescere, ita ut ad hanc 

 investigationem sufficiat ex singulis columnis solos terminos infimos retinuisse. Tum vero aeque 

 evidens est atque in casu praecedente, si regula ad hos terminos infimos ita applicetur, ut nulli 

 termini infra eam promineant, prae terminis, per quos regula transit, omnes terminos superiores 

 evanescere casu £c = cxd, ita ut singulae hujusmodi regulae positiones praebiturae sint terminos 

 aequationis inter se homogeneos, prae quibus reliqui omnes rejici queaut. 



36. Proposita erg-o aequatione quacunque pro curva inter coordinatas x et y, si scire velimus 

 puncta curvae, abscissae x in infinitum abeunti respondentia, tum singuli aequationis termini, ut ante 

 est praeceptum, in cellulas parallelogrammi inscribantur, et quoties fieri potest regula ad terminos 

 binos infimos ita applicetur, ut nuUi terminorum reliquorum infra regulam cadant, quo facto uns^- 

 quaeque hujusmodi regulae positio eos monstrabit aequationis terminos, prae quibus reliqui omnes 

 casu a; = oo rejici queant, indeque natura ramorum curvae in infinitum excurrentium , qui quidem 

 abscissae £c = oo respondeant, collig^etur. Hinc scilicet patebit, utrum applicatae y valores, ipsi 

 ac = oo respondentes, evanescant, an sint finitae magnitudinis, et an ipsae fiant infinitae; quod 

 discrimen ex diversis regulae positionibus respectu horizontalium laterum parallelog^rammi colligetur. 



37. Quemadmodum autem judicium institui oporteat circa naturam hujusmodi ramorum in 

 infinitum extcnsorum faciiius exemplo quodam evolvendo quam praeceptis tradendis doceri potest. 



Ex^einpluin. Imenire naturam ramorum pro abscissa x=oo carvae Iwc aequatione expressae 

 = 2a'°xy — 3a9x3-+-2a«x2y2__3a''x5 — ^a^x^y^-i-a^x^^y — ^a^x^y*— ii.a2x«y2_+.2ax»y3_t-x8y< 



— Sa^y^H-^i-a^y* — a^x^y-f-Sa^x^y^— a*xy— Sa^x^y' __ !i.ax«y« — x«y» 



, — 2a^x^y* -H2ax*y'^ 



-+-a'*xy*' 



* Dispositis terminis hujus aequationis in cellulas parallelogrammi (Fig. 4^6), rejectis coefficientibjus, 

 regula binis terminis in quaque columna verticali infimis quoties fiori potest ita applicetur, ut infra eam 

 nulli termini appareant, sicque progrediendo a dextra ad sinistram quinque regulae situs prodibunt, 

 qui indicantur in figura lineis Gg, Hhy Jiy Kk et LZ, quarum duae priores deorsum tendunt, duae 

 posteriores vero sursum, at media Ji est horizontalis. Jam singuli hi situs sequenti modo evolvantur. 



I. Situs Gy praebet terminos .x*y' et cc^j^, ex quibus formatur haec aequatio: 

 ..,.u.W'. 2ax^y'' — cc^y^=0 seu 2ay = xxy 



