Institutiomm Calculi differentialis Seclio III. Cap. 4. 395 



pro parabola, unde concluditur curvam habere pro abscissa a; = oo ramos in inQnitum extensos 

 parabolicos, qui iu infinito cum parabola bac aequatione 2ay = xx contcnta confuudantur, ita ut 

 abscissae a;=oo rcvspondvat applicata j^=oo, quae eadem abscissae x = — oo conveniat. Hi igitur 

 rami ^symtotis rectis destituuntur. 



II. Situs flhf qui ad horizontalem angulo scmirecto est inclinatus, praebet terminos x^y^ et 

 «*/*, unde oritur aequatio £c*/* — x^y^ = seu xx — yy = quae resolvitur in has duas 

 x-i-y = et X — ^ = 0, utramque pro linea recta ad axem angulo semirecto inciinata, altera 

 quidem inclinata, altera reclinata. Utraque igitur ostendit asymtotam rectam, ita ut haec curva 

 duas habeat asjmtotas, quae vel in ipsas illas rectas aequationibus x-t-y = et x — y = 

 expressas, incidant, vel ipsis erunt parallelae. Quanto autem intervallo ab iis distent, hinc definiri 

 nequit, quoniam ad hoc reliquorum terminorum acquationis ratio est habenda. Inclinatio ergo tan- 

 gentium ad axem tantum hic indicatur; puncta vero, ubi axem secent, hinc non cognoscuntur. 

 Ceterum hinc apparet tam abscissae a? = -»- oo quam x = — oo geminas convenire applicatas 

 j = -*-oo et y= — oo, atque has duas asymtotas se invicem ad angulos rectos intersecare, cura 

 utraque ad axem angulo semirecto inclinetur. 



III. Situs horizontalis Jl per tres terminos a?*;y*, a;^^* et x^y^ transit, indeque emergit haec 

 aequatio x^y^-t-2ax^y^ — kaax^y^=0 seu y^-i-2ay — kaa = 0, ex qua resultant duo ipsius y 

 valores constantes : y = — a-t- aV^ et y = — a — al/5, qui indicant duas rectas axi parailelas ab 

 eoque his intervallis distantes, quae simul ipsae eruut curvae asymtotae; nam cum abscissae aj=oo, 

 vel etiam x = — oo valores finiti ipsius applicatae y respondeant, manifestum est hos valores lineas 

 rectas formare, quae adeo ipsae futurae sint curvae asymtotae. Hoc ergo casu non solum inclinatio 

 iinearum, quae curvam in infinito tangunt, inuotescit, sed etiam ipsa harum linearum positio 

 designatur. 



IV. Situs regulae Kk transit per terminos x^y^ et x^^y, ex quo formabitur aequatio 

 — ka^x^y^-h-a^x^^y^O seu a^=kxy^ unde colligitur posito a2 = =t:oo fore y = 0, Sumta 

 ergo abscissa x infinite magna, ramus curvae in ipsum axem incidit, eritque ideo ipse axis asymtotos, 

 perinde atque in hyperbola aequatione aa = kxy contenta. ,«. u, 



V. Situs denique regulae Ll terminos dat x^^y et oj^, unde obtinetur ^equatio 



' /i H ;; ; a"^ x"^ y — 3a'a3^=0 seu a;^j = 3a^, quae dat y=^'- — • •: > . •- ^ •» j 

 Fit igltar pariter y = posito a? = =hoo, sicque hinc ipse axis denuo erit asymtotS" IfiiJa^ *(*iirvai! 

 propositae. Sed hi curvae rami, qui ad axem convergunt, diversi sunt ab iis, quos situs praecedens 

 regulae suppeditavit, quoniam borum indoles ad hyperbolam cubicam aequatione a?a5j = 3a* accedit, 

 cum illorum natura per hyperbolam conicam indicetur. "^ '" 



38, Ex hoc exemplo intolligitur, quomodo in genere ex ratione situs regulae de natura ramorum 

 in infinitum porrectorum sit judicaudum. Scilicet si situs regulae a dextra ad sinistram progrediendo 

 examiui subjiciamus, primo occurrunt ii, qui deorsum vergunt ut Gg^ Hhy tum horizontalis, si quis 

 adest, ut Je, denique sursum vergentes ut Kk et Ll. Ac primo quidem si regulae situs est hori- 

 zontaiis, qui est quasi medium iuter descendentes et ascendentes, ex eo proveniunt valores finiti 

 applicatae y^ qui abscissae infinitae x respoudeant, hocque casu inveniuntur asymtotae curvae, quae 



