H96 .^ .^vL. EULERI OPERA POSTHLMA. Anaiysis. 



axi sunt parallelae, ab eoqiie intervallo finito distantes, atque hujusmodi asymtotae tot prodibunt, 

 quot aequatio ex hoc regulae situ nata habuerit radices reales. Ubi notandum si duae pluresve 

 radices fuerint aequales, tolidem asymtotas in unam coalesccre. 



39. Quando autem, ut primo loco assumsimus, regula dcorsum verg-it ut Gg vei Hh, tum 

 abscissis inOnitis appiicatae quoque infinitae convenient, et curva ramos habebit ab axe in infinitum 

 diverg-entcs. Practerea vero hinc dijudicari potest, utrum hi rami sint hyperbolici seu asymtotis 

 praediti, an vero parabolici. Scilicet si angulus, quo situs regulae uti Gg ad horizontem inclinatur, 

 major fuerit semirecto, ramus erit parabolicus axem versus convexus, ejusque natura exprimetur 

 aequatione parabolica y"*= Ax'\ in qua exponens ipsius x major est exponente ipsius j. Cohtra 

 vero, si angulus inclinationis regulae deorsum vergentis ad borizontem minor fuerit semirecto, arcus 

 itidiem provenit parabolicus, sed concavitate axem respiciens, et in aequatione parabolica ipsi conve- 

 niente y"'—Ax" erit m> n. Priori casu tangens curvae in punctis abscissis infinitis respondentibus, 

 axem in distantia infinita normaliter secabit, posterlori vero casu axi ad intervallum infinitum erit 

 parallela. 'ri 2«ii>^ui. 



AO. Si rogula sinistrorsum et deorsum vergens cum horizontali faciat angulum semirectum ut 

 Hh\ ea per omnes terminos homogeneos summae dimensionis transibit, atque aequatio ex hoc 

 regulae situ orta erit hujusmodi 



• ' ' Ax"'-+- Bx"'-'y -\- Cx'"-^y^-^ Dx"'-^y^-i- etc. = 0. 



Hujus igitur radices, sunt investigandae quotquot habuerit reales, quoniam imaginariae nihil nisi forte 

 puncta conjugata in infinitum distantia indicant. Radices vero reales quotquot fuerint inter se in- 

 aequales, cum hujus sint iormae u x -t- /3 y = , inclinationem tangentiura in infinito indicabunt, 

 eandemque inclinationem asymtotae habebunt, etsi ipsa asymtotarum positio hinc non definiatur. 

 Radices autem aequales vel plures asymtotas coalescentes, vel etiam inter se parallelas monstrabunt, 

 siquidem in: spatium finitum cadunt; sin autem ad axem in intervallo finito non accedant, tum 

 aequalitas plurium radicum ramos parabolicos, quorum tjxes eandem teneant inclinationem, declarabit, 

 quos proinde peculiari ratione indagari oportet. 



41. Quando vero regula sinistrorsum ac sursum est directa, uti Kk ye\ Ll , aequationes inde 

 suppeditatae semper indicant abscissls infinitis respondere applicatas evanescentes; rami igitur curvae 

 per has aequationes denotatae in spatio infinito cum axe confundentur, eritque propterea ipse axis 

 asymtota horum arcuum. Quin etiam diversa inclinatio regulae simul diversam naturam horum 

 ramorum hyperbohcorum monstrabit, sive cum hyperbola appolloniana conveniant, quod evenit si 

 rf»gula ad angulum semirectum est inclinata, sive ad naturam aliarum hyperbolarum superiorum 

 ordinum sint referendae. Quare hoc casu circa indolem ramorum curvae in infinitum cxcurrentium 

 5»hil |)ir;ieterea desiderari potest. >;;;; /■> •xiwr: it >•, .: < . .i.j, ■ *; : i|a. i/ . ■^■:- /» 

 ■:■-.'. ■■k2.' Quoniam casu, quo tangens ^curvae in punctis^* qnae abscissaie' infinitae reSpbildferttj ad axem 

 obliqua est inventa, in dubio rolinquitur, utrum ea cum axe alicubi concurrat, nec ne? Dubium hoc 

 resolvetur, si aequatio curvae ad aliura axem revocetur tangenti illi parallelura; scilicet si pro 

 langente inventa fuerit haec aequatio ax — /3y = 0, vel si plures radices sint aequales, haec:" 

 (ifa— »/?j*)?3=.0. Ducaturad axem oblique recta aequatiqne £^a? — j3y===0 expressa, haecque pro 



