Inslituliomm Calculi differentialis Sectio III. Cap. 4. 397 



axe assumatur, m quo abscissae sint = t, ct applicatae ad eum normalcs = u; quo facto fiet 



St-au *!'" '"»•• at-t-Su ' 



sicque natura curvae exprimctur acquatione inter has novas coordinatas t et u, cujus termini si iu 

 cellulas parallolog;rammi disponantur, loco factoris compositi {<xx -^ /Sy)" nunc prodibit factor simplex 

 ( — uY{cia-i- /3/3))", qui cum aliis adhuc terminis, quos regula ostendet, comparatus dabit hujus- 

 modi aequationem yu"-*- dt"= Ofin qua erit in<Cn, ex qua perspicietur utrum tangens curvae, 

 quae novo axi est parallela, ab eo intervallo finito «iistet, quod eveniet si in = 0, eritque id inter- 

 vallum a = y- , an vero innnito, quod evenit si m > 0. , IUo casu recta axi parallela ab eoque 



!Bftifii*V^ilo 'tf :i=b'y — - ducta erit curvae asymtota, et r^Mi^ tXitYAe Irtperbolicus; postieHoi1'Vef6 



casu ramus asymtota dostituitur, ac parabolicus vocatur. Intelligitur hinc etiam fieri posse, ut 



asymtota adeo iraaginaria evadat, veluti si m = 0, haccque aequatio obtineatur: uu-t- aa= O^ quam 



impossibihtatem ex aequatione ante axis permutationem concludere ndn licuerat. Ex quo perspicitur, 



quantum reductio aequationis ad alium axom subsidii afferat ad naturiam curvae accuratius cognos- 

 cendam. ....;..-... ... . ' -...<.... ..... .,, ,......,.. jj. .,. ,.^ 



43. Fieri etiam potest, i^t asymtota hoc modo inventa in ipsum novum axem incidat, seu in- 

 tervallum u evanescat, quod cum ex formula 'yu^-i^ St^'=0 exempH gratia assumta minus appareat, 

 notandum est aequationem, quae hoc casu ex situ regulae derivatur, hujusmodi habituram esse 

 formam generalem /Ta^-i-^i, '= 0, ita ut sit m <Ck -i-n, unde manifesto tres casus oriuntur. 



' ••> ■■ '• ',■,■■. :• ■ 1- , •\':(ji! "^',"^ ' -'.t' ■ ■'.:■:■■[■■ y 



Primus si k<imy ideoque yu^^dt" =0, ex quo concluditur facto t=oo fore quoque m=cxd, 



,■)■■■ •V.!'^ ■•''^ • .; (;->q "n:i!;.:-p !i- \ .» - • If- '; 



sicque tangentem a novo axe, cui est parallela, iniinite distare, ramumque curvae fore propterea 

 parabolicum seu asymtota destitutum; ubi quidem notari convenit, hunc casum locum habere non 

 posse nisi sit n ;> 1 , hoc est nisi in priori evoiutione secundum § 4-0 facta, aequatio 



>^i...l. «■,., mA. .bil.ni !. ™"' ■ J^»^^Ba=»^,„^,te: = (y -"•-^^ -' ■-.■ • 



duas pluresve radices habeat aequales, quia n assumsimus ad nuiherum aequalium hujus aequationis 

 radicum acc — ^y denotandum. Quare, ut ibi jam mouuimus, nisi plures radices fuerint aequales, 

 ramus curvae parabolicus esse nequit. Secundus casus est si k = m, quo formula superior abit in 

 yu"~t-d = et indicat intervallum asymtotae curvae a novo axe, cui est parallela. Tertius casus 

 locum habet si k^m, quo fit yt^~""u"-^ d = 0, hocque manifestum est facto t=oo fieri a = 0, 

 ideoque ipsum novum axem fore curvae asymtotam. Neque vero solum hinc concluditur istum 

 ramum curvae in infinitum protensum esse hyperbolicum, sed etiam natura hyperbolae, quacum coneruit, 

 cognoscitur ex aequatione yt' '"u"-*-8 = 0. . .», 



. :(i •■•>i,,-. , ; 



kk, Sin autem tangens curvae in infinitum extensae ejusve asymtota non in ipsum axem incidat, 

 sed ei in dato intervallo sit parallela, uti C^su secundo § praec. atque etiam § 38 usu venit, quo 

 situs regulae fit horizontalis, tum hac methodo quidem distantia asymtotae ab axe, cui est parallela, 

 inveuitur. Sed natura famt curvae ad istam asymtotam convergerttis non agnoscitur, seu hyperboia, 

 quacum conveniat, non definitur, uti eo casu, qu6' asymtota cum ipso axe confunditur. Quanquam 



