398 V L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



autem ad praescns iostitutum nostrum sufGciat positionem tangentis determinasse, tamen levi negotio 

 ea quoque hyperbola assignari potest, ad quam natura rami curvae proxime accedat. Ponamus enim 

 vel ex prima aequatione inter x et y, vel ex jam immutata inter t et u prodiisse pro casu a? = oo 

 vel t = oo hanc aequationem y vel u = a, tum haec ipsa recta ab axe intervallo =a distans pro 

 novo axe assumatur, statuendo y vel u = a-\- v^ sicque obtinebitur nova aequatio inter abscissam 

 X seu t et applicatam c, quae ad parallelogrammum reducta hunc curvae ramum per situm rcgulae 

 a dcxtra -ad sinistram sursum vergcntis veluti Kk seu Ll exhibebit, ex quo non solum constabit hunc 

 novum axem ipsum esse curvae asymtoton, sed etiam regula aequationem pro hyperbola illa suppe- 

 ditabit, quae naturam rami curvae in infinitum excurrentis continebit, quemadmodum jam supra 

 § W annotavimus. Hocque ergo modo omnes curvae rami ad abscissam infinitam relati non solum 

 invenientur, sed etiam parabolae vel hyperbolae, quae proxime ad eorum naturam accedant, indicari 

 possunt. 



. ^5. Cum igitur aequatione quacunquc inter coordinatas orthogonales aj et y* proposita, curvae 

 per eam expressae natura tam iis in locis, quae abscissae x==^, quam in iis, quae abscissae infinitae 

 respondent, dcfiniri queat, manifestum est, commutandis his coordinatis, curvae naturam quoque 

 cognosci posse in iis locis, quae applicatis y vel evanescentibus vel in infinitum abcuntibus respon- 

 dent. Neque ad hoc opus erit, ut novum parallelogrammum construatur, cum idem, in quo termini 

 aequationis modo ante exposito sunt inscripti, etiam judicio ad applicatas accommodando inservire 

 « possit. Quemadmodum enim ante, ubi abscissa erat proposita (Fig. ^6), latera parallelogrammi PQ 

 et SE erant tanquam horizonti parallela spectata, ita nunc, proposita applicata altera, latera PS et QR 

 situm horizontalem occupare sunt existimanda, atque plagae laterales dextra et sinistra inter se com- 

 mutandac, quo facto eaedcm conclusiones, quae ante cx situ regulae pro abscissa vel evancscente vel 

 infinita sunt derivatae, iisdem verbis retentis pro applicata vel evanescente vel in infinitum abeunte 

 valebunt. 



k^. Hinc igitur perspicuum est eandem parallelogrammi figuram ad judicia tam pro abscissa (c, 

 uti hactenus fecimus, quam pro applicata y adhiberi posse. Quare si utrumque judicium conjunctim 

 instituere vclimus, regulam continuo ad binos terminos figurae extimos ita applicari oportet, ut nulli 

 termini extra promineant, qucmadmodum in figura videre licct, ubi lincae Ja^ Bb, Cc, Dd, Ee^ 

 Ff, Gg^ Hh, Ji, Kk, Ll ct Mm has regulae positiones indicant, in quibus omnes, quae quidem 

 occurrere possunt, continentur. Harum enim sunt quatuor lateribus parallelogrammi parallelae: Cc, 

 Ff, Ji, Mm, reliquae vero his inter jacentes obliquae, inter quas porro hoc discrimen est notandum, 

 quod aliae cum lateribus horizontalibus angulum serairectum constituant , aliae majorem , aliae 

 minorem semirecto; videmus enim ab hoc discrimine naturam curvae plurimum pendere, siquidem 

 cellulae parallelogrammi quadratae efficiantur. 



* , ,j kl. Omuino ergo sedecim diversae regulac positiones occurrere possunt, quas figura 'tT ratione 

 inclinationis earum ad latera parallelogrammi repraesentat. Incipicndo scilicet ab ea, quae ad sinistram 

 est perpendicularis, \ii AB in Fig. hl et Mm in Fig. 46 atque circuitum sursura dextrorsum absoK 

 vendo, hae scdecim positioncs ita ordine procedent: 



