400 I m L. EULEUl OPERA POSTHUMA. Anaiysis. 



Octavus regulae situs KG quoqiie pro x = praebet j = cxd, at rami curvae, qui ad hanc 

 applicatam tanquam asymtotam convergunt, ad naturam hujusmodi hyperbolae x"'y"z= C referuntur, 

 ubi sit m > w. 



50. Nonus regulae situs CD eos abscissac x valores finitos exhibet, quibus respondent appii- 

 calae y infinite magnae, haeque ergo erunt simul tangentes et asymtotae curvae. Natura autem 

 hyperbolica, ad quam isti curvae rami pertirieaht, hinc non cognoscitur. 



Decimus reguiae situs (rL declarat abscissis x infinite magnis respondcre applicatas quoque 

 infinite magnas, quae simul sint curvae tangentes, sed cum totae sint in infinitum dissitae, rami hi 

 curvae non hyperbolici censentur, sed parabolici, atque ad hujusmodi naturam parabolicam accedunt 

 x"'=Cy", ubi sit m > n. 



Undecimus regulae situs Gfl' pro abscissis x infinitis applicalas y pariter infinitas praebet, per 

 hujusmodi aequationes y = ccx, ex quibus colligitur tangentem curvae ad axem fore obliquam. Verum 

 hinc neque axis punctum, ubi tangens incidat, innotescit, neque natura rami curvae in infinitum 

 extensi, sive sit hyperbolica, sive parabolica; posterius enim evenire potest, si duae pluresve radices 

 fuerint aequales^ ut §§ kO et 43 est notatum. 



Duodecimus regulae situs GM pariter ac bini praecedentes pro abscissis x infinitis applicatas y 

 quoque infinitas ostendit per hujusmodi aequationes j"*= Cx" ubi m^ n, hincque simul intefligitur 

 tangentem curvae esse axi parallelam, ab eoque intervallo infinito remotam, ita ut rami curvae hinc 

 resultantes , sint parabolici. 



• 51. Decimus tertius regulae situs DJ pro abscissis x infinitis applicatas y finitae magnitudinis 

 offert, unde coliigitur rectas axi parallelas, quae ab eo intervaliis =y sint remotae, fore curvae 

 tangentes ejusque asymtotas. Verum natura hyperboiica, ad quam isti curvae rami referantur, hinc 

 rion innotescit. r.i jao eiiduj 



t Decimus quartus regulae situs LE ad abscissas x infinitas refert applicatas y evanescentes, dum 

 hujusmodi praebet aequationes x"y"*= C uhi m > n, eritque ergo ipse axis tangens curvae ejusque 

 adeo asymtota, ac simul natura hyperbolica hujusmodi curvae ramorum innotescit. 



Decimus qulntus regulae situs HE hujusmodi praebet aequationes xy=C pro abscissis £c in- 

 finitis, quibus idcirco applicatas nihilo aequales respondere manifestum est. Erit ergo ipse axis 

 tangens et asymtota curvae, cujus natura hyperbola conica eXprimitur. 



Decimus sextus denique regulae silus 31 E itidem pro abscissis infinitis x ostendit applicatas y 

 evanescentes, per hujusmodi aequationes £c'"j"= C existente m^n, ita ut axis quoque sit tangens 

 et asymtota curvae, cujus natura hyperbolica hinc simul erit manifesta. 



52. Quo hae conclusiones, quas singuli isti sedecim regulae situs suppeditant, clarius perspi- 

 ciantur, in tabula subnexa pro unoquoque tam valores coordinatarum quam positionem tangentium, 

 et curvae naturam sive parabohcam , sive hyperbolicam , siquidem ex situ regulae innotescit, 

 e^hib^amu^; ^,.^.,^, ,,,j^. 



I 



