402 ^ L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



j. . Caput V, 



" . De invenlione ramorum in infinitum extensorum. 



, i. Si pars quaepiam lineae curvae in infinitum extenditur, ejus puncta a principio axis inter- 

 vallo infinito distant, quaecunque etiam linea recta pro axe assumatur. Hinc si abscissae cc, quibus 

 rami inOniti respondent, vel evanescant, vel sint finitae magnitudinis, applicatae y necessario erunt 

 inOnite magnae; ac vicissim, si applicatae sint vel evanescentes vel infinitae, abscissae erunt infinite 

 magnae. Saepenumero etiam evenit, ut tam abscissae quam applicatae in finitum abcant. Quare ^ 

 quacunque linea recta pro axe assumta, omnes curvae rami in infinitum excurrentes invenientur, si 

 coordinatarum x et y vel altera vel utraque infinita ponatur. Sic in enumeratione situum regulae circa 

 finem capitis praecedentis facta, sextus cum sequentibus omnibus ramos in infinitum extensos indicat. 



2. Quanquam autem haec ramorum in infinitum extensorum inventio in capite praecedente jam 

 exposita videtur, ubi per regulae applicationem ad parallelogrammum Newtonianum ihdolem eorum 

 curvae ramorum, pro quibus vel alterutra coordinatarum vel utraque in infinitum abit, investigavimus, 

 tamen saepenumero accuratiori investigatione opus est, cum ad veram tangentis positionem, tum ad 

 naturam ipsam illius curvae portionis definiendam, uti jam supra innuimus. Quin etiam fieri potest, 

 qui casus imprimis sunt notandi, ut per situm regulae ramus curvae in infinitum extensus indicetur, 

 qui tamen si reliquorum aequationis terminorum ratio simul habeatur, fiant imaginarii. Denique usus 

 parallelogrammi ante expositus tantum ad curvas algebraicas, quarum aequationes ad rationalitatem 

 jam sint pcrductae, patet; unde si aequatio vel irrationalitate sit implicata, vel adeo transccndens, 

 peculiari mcthodo opus erit ad hoc negotium expedicndum. • 



3. Quoties curva est algebraica ejusque aequatio ad rationalitatem revocata, parallelogrammum 

 Newtonianum summa cum utilitate adhiberi potest, non solum ad veram tangcntis positionem et 

 curvae naturam pro iis quoque casibus eruendam, quibus superior methodus insufficiens est visa, nisi 

 axis curvae immutetur, sed etiam ejus ope eos casus dignoscere licebit, quibus rami infiniti, qui 

 primo intuitu per situm regulae indicari videntur, fiunt imaginarii. Dari autem hujusmodi casus, 

 uuico exemplo curvae hac aequatione expressae (yy — axy-^ aayy-i-a^=0 probasse sufficiat, 

 pro qua ex parallelogrammo eliciuntur rami in infinitum extensi, quorum natura expriraatur aequa- 

 tione yy — ax = 0, cum tamen ex tota aequatione appareat nullam plane Hnearum curvarum ei 

 respondere: reperitur enim yy — ax = ay — {aa-i-yy), ita ut nulli plane applicatae y abscissa 

 realis respondeat. 



k. Intelligitur ergo ad naturam curvae in infiuitum expansae accuratius investigandam, eorum 

 quoque aequationis terminorum, qui prae iis, quos regula trajicit, erant neglecti, rationem esse ha- 

 bendam; si quis enim horum terminorum, etiamsi pro infinite parvis haberi queant, imaginaria invol- 



vat, tota aequatio imaginaria erit censenda. Sic etsi posito x infinito, in hac aequatione y= — i 



terminus — prae — rejici queat, ita ut haec aequatio casu 03=00 congruere existimari possit 

 cum hac j = — , tamen si terminus rejectus seu ejus coiifficiens 6 sit imaginarius, tota aequatio fiet 

 imaginaria, atque applicatae abscissis infinitis respondentes erunt imaginariae, neque crgo hoc casu 

 acquatio y =— ad curvae indolem investigandam adhiberi poterit. 



