m L. EULERI OPERA POSTHUMA. Amiym. 



Pdv sin fi — Pd/x. sia v cos (^ -+- v) aadfi sin v sin (a — fi) cos (a — /i) 



+ 



sin* (/i -H v) P siu (/t -+- v) 



Qdju, sin V — Qdi' sin /u cos (^-i-y) 66d»' sin fi sin (/? — v) cos (/3 — v) 



0, 



sia^(fi~+-v) Q8ia(fi-i-v) 



ubi termini elementis dju et d?^ affecti seorsim evanescentes reddi debent, ita ut hae binae obti- 

 neantur aequatioues finitae per sin^ {/u -+- p) multipiicando 



_ „ . ^ . / X 66 sin/isin (At-H»') sin(/J — y) cos(/3— v) ^ 



I. P sm/u — Q sin ju cos {fi-i-p) — ^^ ' — ~ — ^^- — - = 0, 



,, ^ . „ . / \ aa sin V sin (/t -Hr) sin (a — u) cos (a — «) ^ 



II. Q smv — P sin p cos {/u-t-p) — ^^-^ — '-—-^ — ^ i — ^ = 0. 



* ' ' Q P 



Formetur hinc ista combinatio I. II. - — > proditque 



sin fi sin V *^ * 



/D o nn\ ( .—l>hsm {^i -t- p) sin (/? — p) cos (^ — p) \ 



{PP — QQ) cos {in-^p) = 0, 



-f-fla sin (^ -4- j^) sin (of — //) cos (a — fi) 



at est PP — QQ=.aa sin^ {a — fi) — 66 sin^ (/? — p), ideoque 



aasin(a — ^) (cos (^ -i- ?^) sin (« — ^) n- sin (^ -*- 1^) cos (a — fA) = 



■^^\ bb sin {/3 — z^) (cos {/u h- p) sin {/3 — p) -k- sin {/u -i- p) cos (/? — >^) ) 



quae aequatio per reductionem sinuum abit in hanc 



a a sin (cj — /u) sin {a-^p) = bb sin (/? — ?^) siu (^ -t- ^w) , 

 cujus vis quo distinctius perspiciatur, notetur in figura esse 

 «olfib «o! a — /u=CJM, a-^pz=CNB, /3 — p = CBN, /3-^fi = CMJ, 



unde manifestum est fore 



sin (a — ^tt) sin CAM CM sin(j3 — v) sin C^A CN 



sin (^-*-fi) sin CMA CA sin (a-t-v) sin CNB CB ' 



aequatio ergo nostra ««^'°(^-^) ^ ^^^'"(Z^-*-) fit CA.CM=CB.CN seu CA:CB=CN:CM, 



* ° sin (p -♦- /m) sin (a -I- y) ' i 



ita ut recta MN futura sit rectae AB parallela. Atque hinc porro concludere licet, si ex C per 

 punctum recta ducatur COJ, ab ea rectam JB bisectum iri, quod cum non sit adeo obvium, ita 

 ostenditur. 



Ob intersectionem rectarum AM et CJ in puncto est 



AJ:OJ=AB.CM:BM,CO, 

 similique modo ob rectarum BN et JC intersectionem in 



BJ:0J=AB.CN:AN.C0, 



unde alternando et multiplicando fit 



AJ: BJ= CM.AN: CN. BM. 

 At ob rectam MN ipsi AB parallelam est 



CM:CN=BM:AN seu CM.AN=CN.BM 



ideoque AJ=^BJ. Sicque unam conditionem jam elicuimus, qua novimus punctum quaesitum in 

 rectam OJ, qua AB bisecatur, cadere. 



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