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,Mm i L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Analysis. 



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XX. 



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CoiiJSid^ratioiis siir «iiielqiies foriiiules iiite^rales, dont les Taleiirs 

 peuTeiit etre expriiii^eis, eu eertaiiis eas, par la qiiadrature 

 du cercle, ^- •5?^ 



amimm e&tiJsfiOp iihoiq obm 



1. Toute formule differentielle rationelle peut etre integ-ree par le moyen des logarithmes et 

 de la quadrature du cercle. Or ces integrales sont, pour la plupart, renfermees dans des formules 

 d'autant plus compliquees, que la variable contient de dimensions; cependaut quand on donne a 

 la variable, apr^s rintegration, une certaine valeur determinee, il peut arriver que les integrales, 

 quelque compliquees qu'elles soient, se reduisent a des formules assez simples, qui semblent meriter 

 une attention particuliere. II y a aussi des formules integrales qui, en gen^ral, surpassent toutes 

 les quadratures connues, et qui, cependant, en certains cas, sont reductibles a la quadrature du 

 cercle. Je me propose ici de considerer quelques-unes de ces formules, et d'examiner les consc- 

 quences qu'on en peut tirer pour Tavancement de lanalyse» 



— — -ji^ 7 eii cherchant son int^grale 

 dans le cas, ou Ton pose apres Tintegration a?==^oo, ayant pris Tintegrale en sorte, qu'elle s'evanouisse 

 en posant x = 0. Dans ce cas, on trouvera que la partie de Tintegrale qui depend des logarithmes 

 s'evanouit, et que Tautre, qui depend de la quadrature du cercle, se reduit a une expression fort 

 simple. Car posant Tt pour la demi-circonference d'un cercle dont le rayon est = 1 , de sorte que 

 3T marque en meme temps la mesure de deux angles droits, on trouve, en posant apr^s Tintegration 

 x = 00: ' ^ 



dx ^TT r xdx Irr 



h 



dx 



n r dx '•In r xdx tn 



T' J i-i-x^ ~373' ] \-*-x^ ~373' 



/dx n ^ p xdx n pxxdx rt 



iH-a:* 271' Jl-i-x*~ T' yr^"«'~2y2' 



/dx tt ^ /» xdx n pxxdx n rx^dx n r x*dx n 



l-»-aj8 ~ 1' JT^^~sVr A-+-a;«~T*' Ji-t-x^ ~ 373 ' ^r^ ~ ¥ 



3. Ces cas particuliers semblent d<ya sufOsants pour pouvoir en tirer, par la voie dinduction, 

 uoe conclusion plus generale. Car, dans les cas ou denominateur l-f-a?'*, le radical VS fait voir 

 que le sinus de Tangle -^ y entre; et dans ceux des denominateurs i -t- x\ le radical V2 y est 



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