^^ Formules inlcgrales rSducltbles d la quadralure du cercle. 411 



7. . Dans tous ces c^s; particuliers, il est ais(^ de voir quc posant £c = oo, les integrales de- 



viennent jparfaitement d*accord^yec ,la formule generale donnee ci-dessus; mais pour demontrer 



son ^ccord en g^encral, il faut faire voir que toutes. les parties logarithmiques se d^truisent necessai- 



rement, et que. Jes autres, qui rpnferment des arcs de cercle, se rcduiseut a • Pour cet effet, 



= - go»i] .»i*i ^ — - I .vifi r.) iuii^oq .QiiOwsin 2L!^ -^^ inxwtubh li iip 



11 faut ici distlnguer deux (ras, selon que w est un nombre pair bu iinpair. Soit donc premi^rement 

 n = 2/c, et posant £c = oo, puisque tous les logarithmes deviennent egaux, il faut montrer que la 

 somme de cette progression est ^gale a 0: 



mn .^iiin :.5m>flr i- n- Oi,k — ^)mit (2A — 3)tn«f- Vik — i)m7( 



COS^-4-COS-2^-*-COS-^...-H-COS-^^-t-COS ^^-HCOS— 2^ — , 



,?.noi?:?'n2n*iq iJ^'J» zof> ob ofiirfto-; rl lovii 01? '>ij •>noh Ji-gB'a ll 

 m etant un nombre entier. Posons pour abreger — = ^, et il s'agit de d^montrer que 



-<;',n;jj'jiq 5TJiiu'Jiq ei , . :. ■ i.JO iua^ "*.< :: v. *;-.'.,: iij-nq jiur. .01 



cos o) -I- cos 3 a? -H cos 5 <]D -*- -^cos(2k — 1)0? = 0. 



8. Posons, pour chercher la somrafc de cette progression, a- ;.:? 



5" = cos y -Hcos 89? -+- cos 5^-t- . . . . ; -4- CQS (2/c-^ l)9D,,i-i/..i :. - mpBi 

 et multipliant par sin^, 'ii jp^psfe _de sin ^dcos «'92.=;,-^;^— .jSi^ nous 



aurons: , l 



I ' I ^t)?o -^^^c 1 



i^sin ^ = — sin 2^-i- — sin ^^-f--g sin 6^ -i-^"sin {2k — 2)9?-h ^sin 2k(p, 



— "2 sin 2^) — y sin 4<jr — — ifc Gqp.i; .T. •"—•V S'" ^^ — 2)^> 

 et puisque tous les termes a Texception du dernier se detruisent :»u88»b-i9 avuoi) iflfi^fi t^O 



*"r„;lt> — ^> v>sw9P= — sin2A:^ done 6 = 



2 sin cp 



mn 



Or, ayant (f=~i nous aurons 2k(p = mTt, et puisque w est un nombre feiitter •■ ■ i .i' i 



.-.'"". _^ A - "^ " -=r= ; sih 2A;«> = sin mTr = 0, • - "x^o iu«j o -h -v<^ "»<i i^ -»- V "'*> 



de sorte que la sbmme de la progression proposee est effectivement = 0. . ,]Si le nombre n est impair 



= 2A:-i-l, posant ^7 — j = (pi '1 f^u* demontrer que: ^' 



■■•....„.- ^. .j- ? -V 



cos (p H- cos 3 o) ..... -H cos (2k — i)g)~t- — cos w ;r = 0. 



Or, par la sommation precedente, cette somil^e est' 



. _, , . „, , lonijob uoiJoubai d inob 



a . -*- -5- COS IWTr = -a-^ "*- ".i CPfiA^"»- O^ » T 



"■ ■•* l- ''^ *" . 



et k cause de sin 2 /c^) = sin {2k-t-i)cp co^ ^p^ — cos (2'^-?- i ) ^ sin,^ 



cette somme sera ...yjc.ip(2t-^i),yfio»yi,9 n hiu^up ,o7iioiJ e,2 luolc/ f>ni'>ni cJ 



2 sin 99 



Mais^uisque (2/c-*-|)9p = iii;r, 11 est evidefft que cette somme est egale a zero. 



^l .noityybni isq obnoo r,\^b ?Ji07R'f ?^on onp igiiio «- J8d 00 = x Joeeoq n» » — v 



9. Ayant donc demontre, que posant 03 = 00, les paMe* logarithmiques de notre intSg^ale 



f'' i " ^ "''^ d6truisent, il faut chercher la valeur totale des parties qui rebfennent les ares de 





