412 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Anaiym. 



cercle. Or, cliiacun (le ces arcs ^tant compris dans cette somme arc. tang , _ ' ^ > on voit que, 

 posant x=0 ces arcs s'evanouissent, comme la condition de l'integration l'exige; ensuite, en augmen- 

 tant a;jusqu'ala valeura;=- — » cet angle devient droit, et si Ton augmente x au dela, il faut 

 qu'il devienne obtus. Donc, posant a;=oo, on aura arc. tang ' ^ =arc. tang— — ^=7r — (p; 

 et partant, toutes les parties qui renferment des arcs de cercle, prises ensemble, seront 



t.i T»i?|» ijiiiiuiu j«M 1! « _;j(sin — ^-i-sin Hsin i-sm etc), r " 



n ^ n n n n '' 



2?r , . mrt _ . Smn _ . ^mre _ . 7mJt , v 



— — (sin H 3 sin 1- 5 sm — - -♦- 7 sin etc.). 



nn^ n n n n ' 



II s'agit donc de trouver la somme de ces deux progressions.. 



.;r3q ?Ai<: 



iO. Soit premi^rement n un nombre pair ou n=.2k et posant —— = 90, la premi^re progres- 

 sion sera: 



sin (p -♦- sin 89? -*- sin 59? -+- sin (2/c — 1) 95 = ^, 



laquelle, etant multipliee par sin^c?, donne: 



-5- — ^cos29? — -^cosk(p — ^ COS69P. . . — -Q cos 2h(p 



1 , 1 



yCOS^^P-l- 2 



111 



-r- cos 29? -*- — cos 49? -I- ^ cos 69? 



d'ou Ton tire 



1 — coi^ikf 1 — cosm^r 



Ssiam m;r 



2 8in— — 



2* 



* = 



Or, ayant trouv6 ci-dessus: noitqnnza'1 b zftmi' 



cos 9P HH cos 3 95 -t- cos 59? -H -f- cos (2/c — 9^ = ^~^ — ^* 



la differentiation donne: y ji»^ j^^ oopiiiijq ^ noiu« 



sin Qp H- 3 sm 3 97 -t- 5 sin 09? -i-(2« — i)sin(2/E — i)9>= — ^. --\- ^ . o 



-^ '^ ^ ^ '^ '■'^ ^siny 2 sin* 90 



Posons maintenant 9?=^ — > et a cause de 2k = n, nos deux progressions seront: 



ift l--cosm;r 2;r / — ncosmnr sinmrr 



I 



dont la r^duction donne: 



re /^ 8{nm;r \ ft 



n ^ mrt nn\ „ mTf ^ , , m;r 



28ta V 2 8in 2 8in* 



n \ n n / ^^^.^^ ^ 



, mnr mnr | m» 



n sin \ n sm — / n sin — 



n \ n / n 



— > a cause de sinin7r = 0. 



La meme valeur se trouve, quand n est un nombre impair. 



II. Voila donc incontestablement demontre que Tintegrale de notre formule differentielle 

 -7 — -^ en posant « = 00 est > ainsi que nous l'avons deja conclu par induction. La 



n . , . 



meme valeur atira donc aussi lieu de quelque mani^re qu'on transforme la formale diS^rentielle : 



