a' Formules int^grales rMuclibks a la quadrature du cercle, 4-15 



ensuite, j avais aussi exprimc le rapport de deux formulcs int^grales par un tcl produit, et posant 

 apire^ rin^gfa^ion a;= 1,, on aura 



Ni» lU •wrirj/.-j ii!;;f(rj;| •»ill'»ill •J} })li^\ \\\} i 



v-j. 



fx^^—^dxil—xf^) ^ p(a-+-v) 0-i-fi) (a-*-v-*-fi) (^-t-^fi) (a-*-v-t-^n) IZOOIWP. 



v^^ a(^-t-vy (a-t-fi)(B^v-*-u)' (a:;t^^^)(^-t-v-t-<i,x) 

 fx^UxH^xf^) /* '"^^ - . - . "^ - 



et encore plus generalement: 



/a; ^^da;(l-a;^) ^ ^ |3(„_hv)(.?-^/^) (;3-i-//)(<r-4-yH-/f)(/^-t-2A^) (j3-H2/^) («-4-y-f-2/x)(A-f^3/f) ' 



~~. , ~ ^"~ V * a(/3.4r iU»--!-/*) * («-i-v«)(/J-f-/l-«-A)(»'-»-?^* («-*-2A^)(>-t->l-*-2/i)(vH-3M) ® * 

 yarr — ^ dx(l — a;^) /* ^ '*•*' 5 J^ ____V 



^'" ■ ■ ■ •■^ ^^ 



Donc un tel produit etant propose, on pourra r^ciproquemcnt trouver une formule integrale, ou le 



rapport de deux, dont la valeur au cas x= \ lui soit ee-ale. '= „ d 



^^ .' . ^ . . i ;; : o , ~ yj no .2= ^, 2HO^o4 



i6. Soit donc propose ce produit infini "" 



nn 2n. 2n 3n . 3n 



in(2n — n») (m-*-»)(3n — «i) (mH-2n)(4n — m) '* 



dout nous savons la valeur = ^"~*"^ , et que nous composerons avec celui-ci: 



**''°~;i~- Innn? Jjnfmq 9H!'*)m f»^ jriornmoo ieaufi zao^ov eifil/i .81 



fi(a-^-v) 'i,!i(a-i-v-\-fi) 3/M(«-+-»'-»-2/i) . 



a(fi-i^) * («-♦-/*) (2/i-Hy) '(rt-t-2At)(3/«-«-r) •> '" -''»5» 



V— /f 



dont la valeur est ^vfx^^^^dx^i — xf^) ^* au cas £c=l; ct puisque Taccroissement des facteurs 

 est la = /i, et ici =/«, nous aurons d^abord /!< = /i, donc a -1- j' =: n ; et pour le denominateur 

 ou a=m et fx-+-p = 2n — m, ou ju-+-'V = m et « = 2/1 — m. Dans le premier «as, nous avons; 

 a = m; fi = n\ v = n — iw, et dans lautre a = 2n^— /w, fi = nf v = m — n\ de sorte que nous 



»\ 



ttm 



ayons = 



(9— m)ff V V rx"^ — ^ dx 



m 



{n—m)n , . ra 



ou i^-^ — '— = (n — m) - 



, mrt ^ ' J 



>jip i>ho.* : '■■ (;ifs( '"*"'~^i olni:«'V.Jn« (l— a;")^ :nnt6 Ti;otnf[imoii'ib sl aiBfli 



ou ^^-^ — '— = {m — /i) / > 



formules dont la derniere ne saurait avoir lieii, tatit que — — — >• i ou fi > w, puisqu'alors lint^- 



grale renferme encore une partle jnGnie. 



n — I 



•^ ^-x~l, vb«— a:\ , -au— l;xb'-'x\n. .,^1^, 



17. Voila donc une autre route pour montrer que la valeur de cette integrale y > au 



(1 — ar")» 



cas aj= 1, est = > dabord, par la r^duction des intee-rales ii de? produits iufiQisL on.aura, 



^ . "»^ "^ . ° ;i3-iJJk'i5 i; Ifclii 'Jooq fioii iul>l»'Ji 



nsiD 



a cause de a = /n, ^=n, v — ju = ^m pu ^'f^iii— 7^* („ ^ „)~(^7iy 



/•a;'" — *da; 1 n.n 2n.2n 3n.3n 



J fn n — m m(2n — m) (m-t-n)(3n— m) (m-i-2n)(4n — m) 



(\—a/')ln 



